Объём
Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами. С понятием объёма тесно связано понятие вместимость, то есть объём внутреннего пространства сосуда, упаковочного ящика и т. п. Синонимом вместимости частично является ёмкость, но словом ёмкость обозначают также сосуды и качественную характеристику конденсаторов.
Принятые единицы измерения — в СИ и производных от неё — кубический метр, кубический сантиметр, литр (кубический дециметр) и т. д. Внесистемные — галлон, баррель.
Слово «объём» также используют в переносном значении для обозначения общего количества или текущей величины. Например, «объём спроса», «объём памяти», «объём работ». В изобразительном искусстве объёмом называется иллюзорная передача пространственных характеристик изображаемого предмета художественными методами.
Содержание
Вычисление объёма
Математически
В общем случае математически объём тела вычисляется по следующей интегральной формуле:
,
где 
— характеристическая функция геометрического образа тела.
Для ряда тел с простой формой более удобным является использование специальных формул. Например, объём куба с длиной стороны, равной a, равен 
.
Через плотность
Объём находится по формуле: 
Единицы объёма жидкости
Английские внесистемные
Американские внесистемные
Античные внесистемные
Древнееврейские
Русские внесистемные
Единицы сыпучих веществ
Английские внесистемные
Русские внесистемные
Молярный объём
Vm — величина, равная отношению объёма V системы (тела) к её количеству вещества n:
Молярный объем для газов при нормальных условиях: Vm = 22,4 л/моль
Прочие единицы измерения
Примечания
Литература
Полезное
Смотреть что такое «Объём» в других словарях:
объём — объём, а … Русский орфографический словарь
объём — объём … Словарь употребления буквы Ё
объём — объём/ … Морфемно-орфографический словарь
объём — сущ., м., употр. сравн. часто Морфология: (нет) чего? объёма, чему? объёму, (вижу) что? объём, чем? объёмом, о чём? об объёме; мн. что? объёмы, (нет) чего? объёмов, чему? объёмам, (вижу) что? объёмы, чем? объёмами, о чём? об объёмах 1. В… … Толковый словарь Дмитриева
объём — а; м. 1. Величина чего л. в длину, высоту и ширину, измеряемая в кубических единицах. О. геометрического тела. О. куба, цилиндра. О. здания. О. полтора кубометра. В объёме (в трёх измерениях; объёмно). 2. Содержание чего л. с точки зрения… … Энциклопедический словарь
объём — объём, объёмы, объёма, объёмов, объёму, объёмам, объём, объёмы, объёмом, объёмами, объёме, объёмах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») … Формы слов
ОБЪЁМ — ОБЪЁМ, а, муж. 1. Величина чего н. в длину, высоту и ширину, измеряемая в кубических единицах. О. пирамиды. О. здания. 2. Вообще величина, количество. Большой о. работ. О. информации. О. знаний. | прил. объёмный, ая, ое (к 1 знач.). Объёмное… … Толковый словарь Ожегова
объём — ОБЪЁМ1, а, м Величина или вместимость предмета, определяемая произведением длины, высоты и ширины и измеряемая в кубических единицах. Объем бассейна в новой школе составляет 300 кубических метров. ОБЪЁМ2, а, м Количество или величина чего л.… … Толковый словарь русских существительных
ОБЪЁМ — ОБЪЁМ, мера части пространства, занимаемого телом. Единицей измерения служит объём единичного куба … Современная энциклопедия
объ — объ. Пишется вм. (об) перед е, ю, я, напр. объехать, объявить.Примечание. Вм. этой приставки и следующей за ней буквы и пишется обы, напр. обыграть. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
объ… — Пишется вместо об… перед е, ю, я, напр. объехать, объявить. Примечание. вместо этой приставки и следующей за ней буквы и пишется обы, напр. обыграть. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
Объем тела, его измерение.
Объем– это положительная скалярная величина, характеризующая размер геометрического тела.
Объемом тела называется положительная скалярная величина, определенная для каждого геометрического тела так, что:
1. равные тела имеют равные объемы;2. если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме их объемов.
Будем объем тела Q обозначать V(Q).Чтобы измерить объем тела, нужно выбрать единицу объема. Таковой является куб со стороной, равной единице длины, его объем равен е3. Измерение объема состоит в сравнении объема данного тела с объемом единичного куба. Результатом этого сравнения является такое число х такое, что V(Q) = х ∙ е3, которое называют численным значением объема при данной единице объема.Свойства численных значений объема1. Если тела равны, то равны и численные значения их объемов:
Q1 = Q2 
V(Q1) = V(Q2). 2. Если тело Q состоит из тел Q1, Q2,…, Qn, то численное значение объема тела равно сумме численных значений объемов этих тел. 3. При замене единицы измерения объема численное значение объема увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько раз уменьшается (увеличивается) единица объема. Выразим, например, 9 дм3 в кубических сантиметрах. Известно, что 1 дм3 = 1000 см3, и, следовательно, 9 дм3 = 9 ∙ 1 дм3 = 9 ∙ (1000 см3) = (9 ∙ 1000) ∙ см3 = = 9000 см3.
Для измерения объемов площадей используют стандартные единицы площади: м3, дм3, см3, мм3. Основная единица измерения объема – кубический метр. Соотношения между единицами объема: 10-9 км3 = 1м3 = 103дм3 = 106 см3 = 109 мм3. В начальной школе рассматривается объем прямоугольного параллелепипеда. Рассмотрим случай, когда длина, ширина и высота выражены натуральными числами. Если стороны основания равны а и b, то на это основание можно уложить а ∙ b единичных кубиков. Так как в высоту укладывается с таких слоев, то объем параллелепипеда вычисляется по формуле V = а ∙ b∙ с. Таким образом объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений. В начальной школе изучается также такая величина, как емкость. Она рассматривается как объем сыпучих и жидких тел. Единица измерения емкости – литр. 1 л = 1 дм3. Измерить объемы тел более трудно, чем площадь фигур. Приведем несколько способов измерения объемов. 1. Правило Архимеда. Объем воды, вытесненной телом при погружении, равен объему этого тела. 2. Косвенный способ измерения объема. · Посредством измерения длин сторон и других отрезков и нахождения площади с помощью формул. · Нахождение объем через массу и плотность тела. 3. Метод дополнения (разбиения).
4. Объем (емкость) сосудов – с помощью наполнения.
Масса, ее измерения.
Определение. Массой тела называется положительная величина, определенная для каждой фигуры так, что: 1) масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах; 2) масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, взятых вместе, равна сумме их масс. Измерение массы производится с помощью весов. Выбираем тело е, масса которого принимается за единицу. Предполагается, что можно взять и доли этой массы. Например, если за единицу массы взят килограмм, то в процессе измерения можно использовать и такую его долю, как грамм: 1 г = 1/1000 кг. На одну чашку весов кладут тело, массу которого измеряют, а на другую – тела, выбранные в качестве единицы массы, т.е. гири. Этих гирь должно быть столько, чтобы они уравновесили первую чашку весов. В результате взвешивания получается численное значение массы данного тела при выбранной единице массы. Это значение приближенное. Например, если масса тела равна 5 кг 350 г, то число 5350 следует рассматривать как приближенное значение массы данного тела (при единице массы – грамм). Для численных значение массы справедливы все утверждения, сформулированные для длины, т.е. сравнение масс, действия над ними сводятся к сравнению и действиям над числовыми значениями масс (при одной и той же единице массы). Основная единица массы – килограмм. Из этой основной единицы образуются другие единицы массы: грамм, тонна и др.
Чем можно измерить объем
Знакомство ребенка с единицами измерения объема начинается с цифр. Сколько стаканов в литре? Что такое миллилитр? Объяснить эти и другие темы невозможно без использования числовых выражений, поэтому прежде чем приступать к теме, убедитесь, что ребенок умеет считать десятками и сотнями.
Задания, которые мы приводим в статье, взяли из тетради «Kumon. Меры объёма». Вы можете использовать их в качестве идей, чтобы на живых примерах объяснить эту тему. А можно распечатать задания и выполнить их.
Больше, меньше и равно
Сначала объясните ребенку, что такое «больше», «меньше» и «равно». Потренируйтесь определять, какой объем жидкости в ряду наибольший и какой наименьший.
Пдф для скачивания
Здесь попросите определить, у какой из двух емкостей объем больше? Помогите ребенку увидеть емкость, которая вмещает больше стаканов жидкости.
Пдф для скачивания
На этом этапе повторите устный счет от 1 до 1000 (десятками и сотнями) и написание чисел до 10, после чего можно учиться измерять объем жидкости в стаканах, литрах и миллилитрах.
Стаканы
Покажите ребенку, что в каждой емкости помещается определенное количество стаканов жидкости. Попросите обвести в скобках число, обозначающее объем емкости, объясните, откуда взялись эти цифры (на рисунке показаны емкости, вмещающие то количество стаканов, которое изображено под ними).
Пдф для скачивания
Расскажите ребенку, что объем жидкости — это место, которое жидкость занимает в емкости. Покажите на живых примерах: налейте воду в бутылки, кастрюли и другую посуду.
Скачайте сборник заданий на пространственное мышление→
Литры
Измерение объема — важная часть повседневной жизни. Умение пользоваться мерной емкостью с делениями пригодится и в школе, и дома.
Для закрепления материала желательно приобрести мерную емкость с четкой шкалой в миллилитрах и литрах. Поощряйте ребенка измерять жидкости и сыпучие продукты на кухне. Предложите ему самостоятельно налить нужное количество воды, молока или сока. Такие задания помогут развить и поддержать интерес к измерениям, повысят мотивацию к освоению этого полезного навыка, а также подарят опыт, закрепляющий теоретические знания.
После того, как вы рассказали ребенку о мере измерения в стаканах, переходите к понятию «литр». Покажите, что в мерном кувшине помещается 4 стакана жидкости, или 1 литр. Попросите ребенка обвести в скобках числа, обозначающие объем жидкости.
Пдф для скачивания
Миллилитры
Наверняка малыш заинтересуется, что означают эти деления на мерном стакане? Ребенок уже знает, что объем мерного кувшина — 1 литр. Теперь пришло время рассказать, что в одном литре — 1000 миллилитров. Выполните следующее задание: предложите ребенку написать в скобках числа, обозначающие объем жидкости.
Пдф для скачивания
Тетрадь «Kumon. Меры объёма» познакомит ребенка с понятиями «единицы измерения» и «объем». Выполнив все упражнения, ребенок поймет, как соотносятся друг с другом три меры объема, и сможет определить объем жидкости или сыпучих продуктов с помощью стакана и мерного кувшина.
§ 11. Измерение объема. Единицы объема
С измерением объема приходится сталкиваться постоянно: заправляя бак автомобиля топливом, принимая микстуру, оплачивая расход воды и т. д. Как измеряют объем?
V = abc;
По данной формуле можно находить объемы тел, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда, куба.
А как измерить объем тела неправильной формы, например гири? Здесь наиболее удобный способ — опустить тело (гирю) в мензурку с водой и определить объем вытесненной им воды. Он будет равен объему тела. На рисунке 66 объем гири равен:
В быту распространена единица объема 1 литр (л). Один литр есть не что иное, как один кубический дециметр (рис. 67):
1 л = 1 дм 3 ;
Точность измерения объема зависит от цены деления шкалы измерительного прибора. Чем она меньше, тем точность измерения больше.
В английской системе мер единицей площади является 1 акр:
1 акр = 4046,86 м 3 ;
единицей объема — 1 баррель:
В США различают сухой баррель:
1 сухой баррель = 115,628 дм 3
и нефтяной баррель:
Теперь вам будет понятно, о каком объеме нефти идет речь, когда обсуждается цена за 1 баррель нефти.
Сделайте дома сами
Используя изготовленную вами мензурку, измерьте объем клубня картофеля. Определите точность ваших измерений.
Геометрия. 11 класс
Конспект урока
Геометрия, 11 класс
Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:
Объём прямоугольного параллелепипеда.
Формула объёма прямоугольного параллелепипеда.
Объём тела– величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и определяемая формой и линейными размерами этого тела.
Основные свойства объёма:
— равные тела имеют равные объёмы;
— если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.
Атанасян Л. С. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы [текст]: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. С. 130–133.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
С понятием объёмного тела, отличающегося от плоской фигуры, мы познакомились ещё в начальной школе.
Объёмом принято называть положительную величину, характеризующую часть пространства, занимаемую телом, и определяемую формой и линейными размерами этого тела.
Мы можем вычислить объём тела точно так же, как ранее находили площадь фигуры. Объём принято измерять в единицах измерения объёма (единицах измерения размера пространства, занимаемого телом), то есть в кубических метрах, сантиметрах, миллиметрах и так далее. За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (обозначение: см 3 ). По аналогии, можно за единицу измерения объёма принять кубический миллиметр (1 мм 3 ), кубический метр (1 м 3 ) и тому подобное.
Объём выражается в положительных числах. Это число показывает, сколько единиц измерения содержится в теле. Например, сколько кубических миллиметров в аквариуме, сколько кубических метровв бассейне и так далее.
Объём обозначается заглавной латинской буквой V.
Рассмотрим свойства объёмов.
Свойство № 1. Равные тела имеют равные объёмы. Это означает, что если два тела идентичны, то есть имеют равное количество единиц измерения и частей, то равны и их объёмы. Например, 2 одинаковых пакета молока равны в объёме.
Свойство № 2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.
Следствие из основных свойств объёмов.
Объём куба с ребром 1/n равен 1/n 3
Доказательство. Рассмотрим куб, объём которого принят за единицу измерения объёмов, тоесть равный некоторому числукубических сантиметров. Его ребро равно единице измерения отрезков. Разобьём каждое ребро этого куба на произвольное количество частей – nтак, чтобы провести плоскости, перпендикулярные к этому ребру.
По второму свойству объёмов, сумма объёмов всех кубиков равна объёму всего куба (1 см 3 ). Следовательно, поскольку мы разбили каждое ребро на n частей, то каждый маленький куб внутри большого куба будет иметь ребро
Объём прямоугольного параллелепипеда
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.
Обозначимизмеренияпрямоугольного параллелепипеда P буквами a,b,c, его объём буквой V, и докажем, что V = a ∙ b ∙ c.
Рассмотрим два возможных случая.
По доказанному в первом случае, левая часть неравенства представляет собой объём Vn прямоугольного параллелепипеда Pn с измерениями an, bn, cn, а правая часть – это объём Vn’ прямоугольного параллелепипеда Pn’ с измерениями an’, bn’, cn’. Так как параллелепипед P содержит в себе параллелепипед Pn, а сам содержится в параллелепипеде Pn’, то объём V параллелепипеда P заключён между Vn, = anbncn и Vn’= an’bn’cn’. Будем неограниченно увеличивать n. Тогда 1/10 n будет становиться сколь угодно малым, и поэтому произведение an’bn’cn’ будет сколь угодно мало отличаться от числа, выраженного произведением anbncn. Отсюда следует, что число V сколь угодно мало отличается от числа, выраженного произведением anbncn, а значит, они равны.V = abc, что и требовалось доказать.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля.
№1.Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны 15 см и 20 см. Высота параллелепипеда равна диагонали основания. Найдите объём этого параллелепипеда.
Найдём длину диагонали основания, для этого воспользуемся теоремой Пифагора:
А теперь найдём объём параллелепипеда:
V = 15 ∙ 20 ∙ 25 = 7500 см 3
№2.
AD = 960 : 8 : 20 = 6 см
Найдём АС, воспользовавшись теоремой Пифагора:
