чем можно заменить модуль

Пример 2. Пусть x = 5. То есть мы рассматриваем модуль числа 5

В данном случае выполняется первое условие x ≥ 0, ведь 5 ≥ 0

Поэтому используем первую формулу. А именно | x | = x. Получаем | 5 | = 5.

Ноль это своего рода точка перехода, в которой модуль меняет свой порядок раскрытия и далее сохраняет свой знак. Визуально это можно представить так:

А если возьмём числа, меньшие нуля, например −3, −9, −15, то согласно рисунку модуль раскроется со знаком минус:

Пример 3. Пусть x = √4 − 6. То есть мы рассматриваем модуль выражения √4 − 6,

Корень из числа 4 равен 2. Тогда модуль примет вид

x который был равен √4−6 теперь стал равен −4. В данном случае выполняется второе условие x |√4 − 6| = |2 − 6| = |−4| = −(−4) = 4

На практике обычно рассуждают так:

«Модуль раскрывается со знаком плюс, если подмодульное выражение больше или равно нулю; модуль раскрывается со знаком минус, если подмодульное выражение меньше нуля».

Примеры:

|2| = 2 — модуль раскрылся со знаком плюс, поскольку 2 ≥ 0

Пример 4. Пусть x = 0. То есть мы рассматриваем модуль нуля:

В данном случае выполняется условие x=0, ведь 0 = 0

Пример 5. Раскрыть модуль в выражении |x|+ 3

Если x ≥ 0, то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид x + 3.

Допустим, требуется найти значение выражения |x|+ 3 при x = 5. Поскольку 5 ≥ 0, то модуль, содержащийся в выражении |x|+ 3 раскрóется со знаком плюс и тогда решение примет вид:

Найдём значение выражения |x|+ 3 при x = −6. Поскольку −6 |x| + 3 = 3 − x = 3 − (−6) = 9

Пример 6. Раскрыть модуль в выражении x +|x + 3|

Найдём значение выражения x +|x + 3| при x = 4. Поскольку 4 ≥ −3, то согласно нашему решению модуль выражения x +|x + 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив 4 получим 11

Найдём значение выражения x +|x + 3| при x=−3.

Пример 3. Раскрыть модуль в выражении

Как и прежде используем правило раскрытия модуля:

В данном примере удобнее использовать подробную запись правила раскрытия модуля, где отдельно рассматривается случай при котором x = 0

Перепишем решение так:

Пример 4. Раскрыть модуль в выражении

Но надо учитывать, что при x = − 1 знаменатель выражения обращается в ноль. Поэтому второе условие x следует дополнить записью о том, какие значения может принимать x

Преобразование выражений с модулями

Модуль, входящий в выражение, можно рассматривать как полноценный множитель. Его можно сокращать и выносить за скобки. Если модуль входит в многочлен, то его можно сложить с подобным ему модулем.

Как и у обычного буквенного множителя, у модуля есть свой коэффициент. Например, коэффициентом модуля |x| является 1, а коэффициентом модуля −|x| является −1. Коэффициентом модуля 3|x+1| является 3, а коэффициентом модуля −3|x+1| является −3.

Пример 1. Упростить выражение |x| + 2|x| − 2x + 5y и раскрыть модуль в получившемся выражении.

Решение

Выражения|x| и 2|x| являются подобными членами. Слóжим их. Остальное оставим без изменений:

В итоге имеем следующее решение:

Пример 2. Раскрыть модуль в выражении: −|x|

Решение

Источник

«Кастинг чисел» или раскрытие модуля на занятиях с репетитором по математике

М одули — трудная тема для учеников. Приступая к работе с ней репетитор по математике должен понимать, что основные сложности учащиеся испытывают не при вычислении модуля, а при проведения алгебраических преобразований с ним. Причины всех трудностей — недостаточное внимание к данной теме со стороны школьных программ и невозможность в большинстве случаяв работать с «этими палочками» напрямую, за одну операцию, без разветвления применяемых алгоритмов. Знак модуля — это всего лишь оболочка, условное обозначения этого разветвления.

Практика показывает, что большинство приходящих к репетитору учеников имеют крайне низкий уровень владения приемами раскрытия модуля, если под его знаком стоит переменная. В этом случае, репетитор по математике оказывается главным участником сражений за понимание, поскольку в школе толком ничего не объясняется, а самостоятельно разобраться в дебрях разветвлений дети часто не в состоянии.

Далеко не в каждом случае репетитор по математике способен научить ученика работать с модулем. Для этого необходмы не только способности репетитора давать точные комментарии к используемым алгоритмам, но и способности ребенка самостоятельно создавать, контролировать и обрабатывать несколько числовых потоков одновременно. Причем этот контроль имеет многоэтапный и даже виртуальный характер, без участия в нем самих чисел. Сложная задача для ученика.

Составление алгоритмов работы с модулем можно сравнить с запуском автоматизированной линии по выпуску рыбных консервов определенного вида без участия на всех этапах производства самого человека. Фантастика, но попробуем себе это предствить. Надо расставить определенные виды сетей и для каждой из них, в независимости от того, что в нее попадает, запланировать какой то способ дальнейшей сортировки и переработки пойманного. Тоже сложная задача. Учитывая тот факт, что не каждый ученик сможет правильно проанализировать влияние специфики уравнения (конечного продукта) для поиска таких алгоритмов, — задача вдвойне усложняется.

Спасаться учебниками не получается. Во всех книжках, которые попадались мне на глаза, объяснения велись сразу через записи систем, равносильных исходному уравнению.

Нельзя объяснять ребенку методы решений уравнений с модулем через равносильные системы.

Проблема заключается в том, что их появление — есть продукт мыслительной деятельности знающего человека и предназначены они для ПРОВЕРКИ РЕШЕНИЯ знающим человеком, но никак не для того, чтобы учить с их помощью ПОНИМАТЬ происходящеее. Ими демонстрируется только «вершина айсберга», большая часть которого, связанная с «демонстрацией передвижения чисел», скрыта. Ее нельзя как-либо полностью показать что то записывая, как нельзя, например заменить всю информацию на видео несколькими фотографиями. Донести до ученика суть можно только на словах. Это и должен сделать репетитор по математике.

В этой статье я хочу поделиться с вами собственной методикой объяснения основного способа снятия модуля : разбора случаев по подмодульному выражению. Для Начала посмотрим как решается базовое (линейное) уравнение с модулем в любом более-менее серьезном пособии по подготовке к экзамену в 11 классе.

Решить уравнение:
| x — 3 | = 2x+1

От учебника к учебнику пояснения будут в целом близки по духу, но несколько отличаться друг от друга комментариями. Вот некоторые из них:
1) Уравнение равносильно совокупности систем

Далее, как правило, в том же виде (параллельно) демонстрируется решение каждой системы и записывается ответ. И все. Среднему и даже сильному ученику, порой, трудно в этом разобраться. Слабый ученик не поймет ровным счетом ничего. А у более толкового возникнет масса вопросов: почему именно так решается исходное уравнение? Почему надо включать в записи еще какие-то неравенства? Все ли уравнения с модулем можно решить этим способом?А если модулей несколько?. Некоторые учителя, не усложняя себе жизнь поиском подходящих разъяснений, пользуются этой схемой и считают, что она сама обо всем рассказывает и тратить лишнее время — только запутывать ученика. Но практика показывает, что большинство детей не способны на самостоятельный анализ участия в решении даже таких простых неравенств

2) Вторая разновидность демонстрации решения: рассмотрим случаи (уже не понятно, что значит «рассмотрим», зачем и что такое вообще «случаи» :
1) х — 3 ≥ 0
Тогда уравнение приводится к виду х-3=2х+1. Находим его корень х= −4. Он не удовлетворяет неравенству х — 3 ≥ 0
2) х — 3 3 я могу заменить проверку |x — 3| = 2x+1 на проверку равенства x — 3 = 2x+1. Если оно окажется верным — тестируемое число попадет в ответ. Чисел, которые обеспечивают выполнение этого условия не так много, более того оно одно и его можно найти просто решив линейное уравнение. Но оно может не находится в рассматриваемой части оси (в 1-ой комнате), поэтому этот корень еще требуется проверить на принадлежность к промежутку от 3 до +∞.

Именно поэтому тестируемое число должно отвечать двум требованиям х>3 и x — 3 = 2x+1, а значит должно быть решением следующей системы:

Ее ответ покажет, какие числа первой комнаты являются корнями исходного уравнения.
Аналогично можно объяснить как найти корни во второй комнате, то есть на промежутке (- ∞;3). Если тестировать любое число из этого промежутка, и вставлять его в исходное уравнение (представим себе этот бесконечный процесс), то под модулем будет каждый раз получаться отрицательное число, а в этом случае в выражении |x — 3| будет получаться тот же самый результат, что и в выражении —(х — 3), (этот факт лучше объяснить отдельно до темы уравнения с модулем). Поэтому для принятия решения о включении тестируемого числа в ответ не важно где его проверять: подставляя в |x — 3| = 2x+1 или в уравнение —(x — 3) = 2x+1 (раз в левых частях получается один и тот же результат). И опять, вместо того, чтобы проверять пербором все числа расположенные левее x=3, я могу просто решить это уравнение —(x — 3) = 2x+1. В его ответ «заползут» все числа обеспечивающее его верность. Среди них надо взять только те, которые левее 3, то есть проверить условие х Решив обе полученные системы и собрав вместе все найденные числа мы получим ответ уравнения |x — 3| = 2x+1.

Репетитор по математике должен тщательно следить не только за порядком слов, которые он использует, но и за темпом изложения. Нельзя спешить и слишком много говорить.

Через урок, после объяснения метода построения графика с модулем репетитору полезно вернуться к разобранному уравнению и решить его же графически.

Аналогично объясняется метод решения неравенств с модулем. Фраза «проверка равенства» заменяется на фразу «проверку верности неравенства».

построить график функции у=|х-1|+2х

Разделим плоскость на две части, так чтобы в первую часть попали точки у которых х≥1, а у другой х Она указывает на построенную часть финального графика. Аналогично дается пояснение для построения левой части, а затем объединяем построенные линии и получаем:

Как видите, репетитор по математике может предложить практически тот самый текст ученику, что и при решениии уравнений с одной перменной. Закрепление материала будет лишь вопросом времени при самостоятельной работе. Особое чутье репетитора здесь проявляется в способности понять когда можно с учеником переходить к последовательному чередованию объектов (уравнений, неравенств, графиков).

Модное на сегодняшний день слово «кастинг» как нельзя лучше подходит для описания работы алгоритмов решения уравнений с мордулями. Большинство подростком с ним знакомы и понимают его сымсл. Для Красиво зазвучит: «кастинг чисел» «кастинг точек плоскости».

Уяснив метод разбора случаев на простых линейных подмодульных выражениях, ученик может быть отправлен репетитором по математике в гости к нелинейным. В такой последовательности легче понять, что делать, если под модулем, например, стоит дробь или косинус. Стоит обратить внимание на то, что в первой строке систем вписывается неравенство, указывающее своим ответом на рассматриваемое множество. Именно этот ответ и есть первая комната. Записывая неравенство мы выделяем эту комнату. Поскольку ответ неравенств часто состоит их кусочков оси, то комната просто будет рваной, но принцип отбора (кастинга) ее чисел остается прежним. Все равно надо решать систему, просто вместо готового для изображения ответа х≥3 придется включать в первую строку системы неравенство «подмодульное выражение больше(меньше) либо равно нуля», решать его, а затем пересекать полученный ответ с ответом второй строчки системы.

Итак, с одним модулем разобрались. Что репетитор по математике предложит еще? Если по его ощущениям у ученика еще остался потенциал — можно перейти к уравнениям с двумя линейными модулям, например |x-3|+|2x+1|-4=0. Важно, чтобы на этом этапе ученик понимал как выбирается разделительная точка для каждого модуля. Можно назвать ее переломной.

Удобнее всего ось разделить двумя точками «обнуляющими» подмодульные выражения на 3 области и для отбора чисел из каждого множества заменить проверку исходного неравенства на проверку неравенства без модулей. Тремя системами получаем ответ.

Опытный репетитор по математике всегда знает, что наиболее вероятной ошибкой является потеря контроля за раскрытием модуля если он «обложен» со всех сторон действиями. Для уменьшения ошибок важно предложить какое-то единое опорное правило. Я всегда говорю так. В случае, когда под модулем получается «минус» модуль надо поменять на скобку, а перед скобкой поменять знак. Это очень удобно для запоминания, так как в голове ученика в этот момент сидит директива «что-то поменять». Легко запомнить, что если хочется «что-то поменять», то надо поменять все что только можно (слева от подмодульного выражения).

После раскрытия находят распределение знаков через графики (или через пробные точки в каждом промежутке) и уже по ним «читают» итоговые знаки всей дроби.

Стоит упомянуть, что репетитор по математике всегда выбирает глубину изложения темы в зависимости от ученика и разбирает с ним способы решения только до определенного уровня. К заданиям несколько более высокого уровня сложности обычно относят те, в которых или присутствует большое количество модулей, параметр, или модуль стоит поверх тригонометрической функции, или модули появляются при удалении квадратного корня вместе с полным квадратом какого-нибудь выражения, расположенным под его знаком.

К нестандартным я бы отнес функциональные приемы :

Часто задаваемые вопросы учеников репетитору по теме «раскрытие модуля»

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.

Источник

Решение уравнений с модулем

Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа, и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля, то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля, перестает быть препятствием для его решения.

Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.

Например, число +5, или просто 5 имеет знак «+» и абсолютное значение 5.

Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.

Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.

Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и

Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3 2 +4x-3

|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3 2 +4x-3

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

и решим это уравнение.

Это уравнение имеет корни:

Внимание! поскольку уравнение x-3=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х₂=3.

Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке x