Что можно делать с неравенствами

Действия с неравенствами

Какие действия можно выполнять с неравенствами?

Неравенства вида a>b и c>d называются неравенствами одинакового смысла (одинакового знака, одноимённые).

Неравенства a>b и c

2) Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства из которого производится вычитание.

3) Неравенства одинакового смысла с положительными членами можно почленно умножать.

Для a>0, b>0, c>0, d>0, m>0, n>o

4) Неравенства противоположного смысла ч положительными членами можно почленно делить, оставляя знак того неравенства, которое является делимым.

Для a>0, b>0, c>0, d>0, m>0, n>o

5) Обе части неравенства с положительными членами можно возводить в одну и ту же натуральную степень.

b,\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

>\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Верно и обратное: для a>0, b>o, k∈ N

,>\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

b.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Почленное сложение неравенств и другие действия с неравенств используются как в алгебре, так и в геометрии.

Источник

Всё, что вы хотели знать о неравенствах: Лайфхаки, видео, мастер-классы и онлайн-интенсив!

Неравенства: лайфхаки, видео, мастер-классы!

Расписание занятий по теме «неравенства».

Друзья, каникулы кончились, и на нашем Онлайн-курсе продолжаются занятия.

Ближайшие мастер-классы 18 и 19 января – Задача 15, Неравенство. И на следующей неделе занятия во вторник и в четверг – тоже неравенства.

Давайте вспомним, что вообще значит – решить неравенство. Смотрите видео.

Что надо знать при решении неравенств?

1. Помним, что можно делать с неравенствами и чего с ними делать нельзя.

— Возводить обе части неравенства в квадрат можно только если они неотрицательны.

— Извлекать из неравенства квадратный корень – нельзя. Нет такого действия.

— Если в неравенстве есть модуль – раскрывать его надо по строгим правилам, а не просто «с плюсом и с минусом».

А вы знали об этом? Или в первый раз увидели?

2. Оформляем решение как цепочку равносильных преобразований: переходов от неравенства – к системе условий – к следующей системе – и так далее. Все вспомогательные преобразования (например, решение квадратных уравнений) делаем на полях.

3. Упрощаем все что можно! Чтобы не решать неравенства через …ну сами знаете что. Например, дроби раскладываем на сумму дробей. Каким образом упрощать? – Об этом я рассказываю на Онлайн-курсе.

4. Метод рационализации, он же метод замены множителя. Как? Тоже не знаете такого? Смотрите Онлайн-курс

5. Знаете, что может быть самое обидное, когда вы решаете неравенство на экзамене? Самое обидное, просто epic fail – когда вы правильно нашли все границы интервалов… а сами интервалы записали с точностью до наоборот! Аааа, ноль баллов! Как этого избежать?

Так происходит, если вы сделали замену переменной, а к старой переменной вернулись некорректно. Помните: сначала полностью решить неравенство относительно новой переменной. И только после этого вернуться к исходной.

6. Получив ответ, подставьте 2-3 точки из найденных интервалов в исходное неравенство. Полной гарантии этот метод не дает, но хоть очевидных ошибок не сделаете.

— А если хотите полной гарантии – вам на Онлайн-курс.

Ближайшие занятия по теме «неравенства»:

18.01, суббота, 12.00. Как научить решать неравенства. Занятие для преподавателей.

18.01, суббота, 14.00. Показательные и логарифмические неравенства. Занятие для учащихся.

19.01, воскресенье, 10.00. Иррациональные неравенства. Неравенства с модулем.

21.12, вторник, 16.00. Метод интервалов. Дробно-рациональные, показательные и логарифмические неравенства.

23.01, четверг, 16.00. Комбинированные неравенства. Задачи повышенной сложности.

Время указано московское.

Если вам нужна только эта тема – приходите на специальный интенсив по задаче 15, неравенства. Время проведения, стоимость и запись: 8 495 984 09 27

— Теория: текст + 72 ч видеоразборов.
— 35 ч. онлайн занятий с Анной Малковой в месяц.
— ДЗ с проверкой, чат, 2 репетиционных ЕГЭ.

Курс «11 класс, 80 баллов»

— Теория: текст + 72 ч видеоразборов.
— 54 ч. онлайн занятий с Анной Малковой, 3 в месяц.
— ДЗ с проверкой, чат, 9 репетиционных ЕГЭ.

Курс «11 класс, 100 баллов»

— Теория: текст + 72 ч видеоразборов.
— 120 ч. онлайн занятий с Анной Малковой, 8 в месяц.
— ДЗ с проверкой, чат, 9 репетиционных ЕГЭ.

Курс для преподавателей

— Вся теория профильного ЕГЭ, все задачи.
— 4 онлайн занятия в месяц (70 ч.).
— Мастер-классы по методике преподавания раз в месяц (18 ч.).

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

Источник

Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки

Вы умеете решать неравенства? Уверены?

Вспомним для начала, что вообще можно делать с неравенствами и чего с ними делать нельзя.

При решении неравенств мы можем:

1. Умножать обе части неравенства на число или выражение, не равное нулю.
При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется.

При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

2. Можем возводить обе части неравенства в квадрат при условии, что они неотрицательны

3. Имея дело с показательным или логарифмическим неравенством, мы можем «отбрасывать» основания или логарифмы. Если основание степени или логарифма больше единицы – знак неравенства будет тот же. Если основание степени или логарифма положительно и меньше единицы – знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» основания степеней или логарифмы. Мы пользуемся свойствами монотонности соответствующих функций. Если основание степени больше единицы, показательная функция монотонно возрастает. Если основание положительно и меньше единицы – показательная функция монотонно убывает. Аналогично ведет себя и логарифмическая функция.

4. При решении показательных или логарифмических неравенств применяется метод рационализации (замены множителя).

5. Общее правило. Если неравенство можно хоть как-то упростить – это необходимо сделать! Иначе его решение может занять восемь страниц и два часа времени.

Чего нельзя делать при решении неравенств? Вот 7 ловушек, в которые часто попадают абитуриенты.

1. Нельзя умножать (или делить) неравенство на выражение, знака которого мы не знаем.

2. Извлекать из неравенства корень тоже нельзя. Такого действия просто нет.

Как, например, решить неравенство

Перенесем все в левую часть неравенства, чтобы в правой остался ноль.

Разложим левую часть на множители.

Запомним: ответы типа « > » абсурдны.

4. Возводить обе части неравенства в квадрат можно только если они неотрицательны.

5. Помним о том, в каких случаях знак показательного или логарифмического неравенства меняется, а в каких – остается тем же. «Отбрасывая» логарифмы, делаем это грамотно.

6. Если в неравенстве есть дроби, корни четной степени или логарифмы – там обязательно будет область допустимых значений.

7. Сложная тем для старшеклассников – задачи с модулем. Проверьте, умеете ли вы их решать.

При решении неравенств большое значение имеет правильное оформление. Рекомендуется оформлять решение как цепочку равносильных переходов: от исходного неравенства к равносильному ему неравенству или системе.

Обратите внимание на приемы, позволяющие решать неравенства легко, быстро и без лишних вычислений.

А теперь – полезный лайфхак для решения дробно-рациональных неравенств.

Продолжаем упрощать левую часть:

Теперь можно и привести дроби к одному знаменателю.

Все, больше ничего не пишем. Решаем неравенство методом интервалов.

Источник

Линейные неравенства (ЕГЭ 2022)

Раз уж ты читаешь эту тему, то ты наверняка уже знаком с темой «Линейные уравнения».

Если нет, то лучше скорей отправляйся исправлять это недоразумение.

Без усвоенной этой темы спокойное плавание в линейных неравенствах не гарантировано.

А если тебе все с ними понятно, вперед, покорять неравенства.

Линейные неравенства — коротко о главном

Линейными неравенствами называются неравенства вида:

где \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) – любые числа, причем \( \displaystyle a\ne 0\); \( \displaystyle x\) — неизвестная переменная.

Правила преобразования неравенств:

Правило 1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный (т.е. при переносе через знак неравенства знаки при слагаемых меняются на противоположные).

Правило 2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.

Правило 3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный (т.е. знак \( \displaystyle >\) на знак \( \displaystyle 12\)

Дальше мы делим обе части составленного неравенства на \( \displaystyle 3\) и получаем:

Таким образом, каждый друг щедрого Васи получит больше, чем \( \displaystyle 4\) яблока.

Ну вот и справились с неравенством! Сейчас я введу формализованное определение линейного неравенства и будем разбираться с ним дальше.

Определение линейного неравенства:

Линейные неравенства — это неравенства вида:

Источник

Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Неравенства

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.

Примеры линейных неравенств:

3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

x c x ≤ c x > c x ≥ c

где c – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

Таблица числовых промежутков

Алгоритм решения линейного неравенства

a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )

№2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14

6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4

x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

№1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

№2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x + 6 − 9 x > − 8 x + 48

Квадратные неравенства

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1

− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 0

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1

− x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 0

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№4. Решить неравенство x 2 − 5 x 6.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1

x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 = 44 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.

№5. Решить неравенство x 2 4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2

x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.

№6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0.

x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1

x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )

Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

3 ( x + 8 ) − 5 \ x + 8 ≤ 0

3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0

x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )

№3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.

В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Системы неравенств

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

Алгоритм решения системы неравенств

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.

Графическая интерпретация решения:

Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

№2. Решить систему неравенств < 2 x − 1 ≤ 5 1 − 3 x − 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

Графическая интерпретация решения:

№3. Решить систему неравенств < 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 >5 − x

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Графическая интерпретация решения:

Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

№4. Решить систему неравенств < x + 4 >0 2 x + 3 ≤ x 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Графическая интерпретация решения первого неравенства:

Решаем методом интервалов.

D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1

Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

Графическая интерпретация решения второго неравенства:

Источник

Неравенство	Графическое решение	Форма записи ответа
x c