Алгоритм нахождения коэффициентов а, в и с по графику квадратичной функции
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Алгоритм нахождения значения коэффициентов a, b, c по графику квадратичной функции y= ax2 +bx+c. Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.
Нахождение коэффициента a 1) по графику параболы определяем координаты вершины (m,n) 2) по графику параболы определяем координаты любой точки А (х1;у1) 3) подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде: 4) решаем полученное уравнение.
По графику функции найдите значения коэффициентов a, b, c
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДВ-373901
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
СК предложил обучать педагогов выявлять деструктивное поведение учащихся
Время чтения: 1 минута
На Госуслугах ввели запись детей на кружки и секции
Время чтения: 2 минуты
Минобрнауки: вузы вправе вводить QR-коды для посещения корпусов
Время чтения: 2 минуты
Систему ЕГЭ сделают независимой от Microsoft
Время чтения: 1 минута
Студенты Хабаровского края перейдут на дистанционное обучение
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения разработало проект новых правил русского языка
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Что значит а и с в графиках параболы
Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса «вымучивают» свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.
Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на «чтение» графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.
Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.
Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.
Самая простая зависимость для коэффициента а. Большинство школьников уверенно отвечает: » если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а 0.
В данном случае а = 0,5
А теперь для а 2 + b 0 + c = c. Получается, что у = с. То есть с – это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с 0:
Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:
Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с 0. Окончательно имеем: а > 0, b > 0, с 0)
тел. моб. (495) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.
тел. моб. 8 (499) 723 68 84. Звонить можно до 23:00.
тел. дом. 8 (925) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.
Квадратичная функция и её график
Парабола является графиком квадратичной функции, которая задается формулой y = ax 2 + bx + c.
Нарисовать параболу можно, используя таблицу значений, в которой мы выбираем произвольный х и находим у. Но не всегда этот способ является самым рациональным.
Начнем, как всегда, с простого)
Стандартная парабола.
На координатной плоскости отмечаем эти точки и чертим параболу.
Начало координат тоже является вершиной этой параболы, как и в предыдущем случае, но ветви уже будут направлены вниз:
Если у тебя черный пояс по рисованию стандартных парабол, то следующий раздел пройдет у тебя «на ура».
Параболы со смещенной вершиной.
Зачем я начала статью со стандартной параболы? Ответ прост. Графиком любой квадратичной функции y = ±x 2 + bx + c (обязательно коэффициент перед х 2 должен равняться ±1) является стандартной параболой, только вот вершины этих парабол не будут находится в начале координат.
Чтобы начертить подобные параболы нужно сначала узнать, где находится вершина.
Пусть вершиной параболы будет точка О с координатами (x1; y1). Тогда найти эти координаты можно по формулам:
Кстати, можно найти координаты вершины и другим способом.
Координату хО находим по той же формуле, а координату уО можно найти подстановкой координаты хО в функцию.
Без примера не обойтись)
Найдем сначала вершину параболы двумя способами, чтобы убедится, что оба способа рабочие.
1 способ: по формулам.
2 способ: подстановкой.
Одну координаты мы уже нашли по формуле. Подставляем ее в исходную функцию.
Параболы-стройняшки и параболы-пухляшки.
Удивительно, но числовой коэффициент перед х 2 оказывается влияет на стройность и полноту парабол.
Если числовой коэффициент лежит в промежутке (-1; 0) ∪ (0; 1), то парабола будет более обширно смотреться на координатной плоскости.
Не веришь? Давай проверим! Для примера возьмем две функции:
К сожалению, здесь схитрить не получится: обе параболы нестандартные и для обеих необходимо создать таблицы значений. Но перед эти определимся с их вершинами.
Переходим к таблицам значений.
| x | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| y | 3 | 6 | 7 | 6 | 3 |
| x | -1,5 | -1 | -0,25 | 0 | 1 |
| y | -3 | 1 | 4,5 | 3 | -3 |
Чертим обе параболы по получившимся координатам.
Вот о чем я и говорила) Перед тобой парабола-стройняшка и парабола-пухляшка во всей красе.
Практикум по параболам.
Теорию о параболах можно еще писать и дальше, но тебя, скорее всего, интересует практика по графикам.
Поскольку речь идет о параболах, то с параболами мы и будем сейчас возиться.
Задание 1. На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
А) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с отрицателен, то график пересекает ось Оу ниже нуля. Подходит график 1.
Б) Если коэффициент а отрицателен, то ветви направлены вниз; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 3.
В) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 2.
Задание 2 (наоборот). На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
А) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу выше нуля, значит и с > 0. Подходит вариант под номером 3.
Б) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу ниже нуля, значит и с 0. Подходит вариант под номером 2.
Задание 3. Установите соответствие между графиками и их функциями.
Дальше рекомендую отработанную годами технику. Она минимизирует твои ошибки, если ты, конечно, умеешь считать)
Задание 4 (наоборот, но принципе тот же). Установите соответствие между функциями и их графиками.
На графике 1 выбираем точку. Вершина снова четкая, но для разнообразия давайте возьмем другую точку, например, точку с координатами (-4; 1). Будь внимателен и смотри, чтобы точно такой же точки не было на третьем графике!
Квадратичная функция (ЕГЭ 2022)
Проверь себя, ответь на эти вопросы:
В конце статьи ты будешь знать ответы на эти вопросы.
Квадратичная функция — коротко о главном
Квадратичная функция – функция вида \( y=a<
^<2>>+bx+c\), где \( a\ne 0\), \( b\) и \( c\) – любые числа (коэффициенты), \( c\) – свободный член.
График квадратичной функции – парабола.
Вершина параболы: \( \displaystyle <
Квадратичная функция вида: \( y=a<
Чем больше значение \( \displaystyle a\) (по модулю), тем у́же становится парабола (ветви становятся более крутыми). И наоборот, чем меньше \( \displaystyle a\), тем парабола шире.
Варианты расположения параболы в зависимости от коэффициента \( \displaystyle a\) и дискриминанта \( \displaystyle D=<^<2>>-4ac\).
Что такое функция?
Не знаешь? Тогда сперва прочитай тему «Функции» – она несложная, но очень важная.
А мы пока повторим.
Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).
То есть, если у тебя есть функция \( y=f\left( x \right)\), это значит что каждому допустимому значению переменной \( x\) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной \( y\) (называемой «функцией»).
Что значит «допустимому»? Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции».
Все дело в понятии «область определения»:
Для некоторых функций не все аргументы можно подставить в зависимость.
Например, для функции \( y=\sqrt
Кстати, а с линейной функцией ты уже дружишь? Про нее все написано в теме «Линейная функция» – там ты поймешь, что в функциях ничего страшного нет и научишься понимать и использовать коэффициенты (это циферки перед буквой \( x\)).
И еще, надеюсь, ты умеешь решать квадратные уравнения? Освежить память можно, почитав тему «Квадратные уравнения».
Квадратичная функция — подробнее
Квадратичная функция – это функция вида \( y=a<
^<2>>+bx+c\), где \( a\ne 0\), \( b\) и \( c\) – любые числа (они и называются коэффициентами).
Число \( a\) называют старшим или первым коэффициентом такой функции, \( b\) – вторым коэффициентом, а \( c\) – свободным членом.
Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.
Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения \( D\left( y \right)\) и область значений\( E\left( y \right)\).
Какими могут быть значения аргумента квадратичной функции \( y=a<
Значит, область определения – все действительные числа:
А теперь множество значений. Все ли значения может принимать функция?
Достаточно рассмотреть самую простую квадратичную функцию \( y=<
\), чтобы убедиться в обратном: ведь какое бы число мы не возводили в квадрат, результат всегда будет больше или равен нулю.
Значит, эта функция всегда не меньше нуля.
А вот больше нуля она может быть сколько угодно: ведь бесконечно большой x в квадрате будет еще больше.
Таким образом, можем написать для \( y=<
В каждом отдельном случае область значений будет разная, но всегда – ограниченная.
График квадратичной функции
Наверняка ты слышал, что график квадратичной функции называется параболой. Как она выглядит? Сейчас нарисуем
Кстати мы очень подробно разобрали как быстро и правильно рисовать параболу. Переходи по ссылке и всему научишься.
Начнем с простейшей квадратичной функции – \( y=<
Составим таблицу значений:
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Нарисуем эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией:
Именно так и выглядит парабола. Самая нижняя ее точка называется вершиной, а части спарва и слева от вершины называем ветвями параболы. Как видим, ветви симметричны относительно вертикали, проходящей через вершину.
Рассмотрим теперь другую функцию: \( y=<
Составим таблицу значений:
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 5 | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | 5 |
Сравним два рисунка.
Видно, что это как будто одна и та же парабола, просто расположенная в разных местах.
Во второй параболе вершина переместилась в точку \( \left( 1;-4 \right)\), а ветви переехали вместе с ней.
Да, так оно и есть: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом, a выглядят одинаково – даже при разных остальных коэффициентах.
Кстати, если хочешь научиться быстро и правильно рисовать график квадратичной функции, то переходи по ссылке, там отличная статья.
Коэффициенты квадратичной функции
Давай разберем, на что влияют коэффициенты квадратичной функции.
Начнем со старшего коэффициента.
Будем рассматривать функции вида \( y=a<
Что ты видишь? Чем они отличаются? Какую закономерность можно заметить?
Во-первых, это невозможно не заметить, если \( \displaystyle \mathbf \mathbf<0>\) – вверх.
Значит, если парабола пересекает ось \( \displaystyle Ox\) в двух точках, то у нас два корня квадратного уравнения.
Если не пересекает – корней нет.
Но бывает ведь, что дискриминант уравнения равен нулю, и тогда только один корень. В этом случае парабола касается оси \( \displaystyle Ox\) вершиной:
А что такое вершина параболы?
Вершина параболы
Корень уравнения в этом случае указывает на вершину параболы. Если вспомнить формулу корня квадратного уравнения при \( \displaystyle D=0\), получим формулу вершины:
Это тоже бывает очень полезно.
Итак, всего возможны шесть разных вариантов расположения параболы. Вот они все на одном рисунке:
А теперь порешаем задачки.
Решение задач
1. График какой из функций избражен на рисунке?
2. Найдите сумму корней квадратного уравнения \( a<
3. Найдите произведение корней квадратного уравнения \( a<
4. По графику функции \( y=<
Решения
1. Первое: куда «смотрят» ветви параболы? Вниз. А что это значит? Правильно, \( \displaystyle a
Преобразования графиков функций (ЕГЭ 18. Задачи с параметром)
Научились строить график какой-то функции? А что, если я теперь поменяю один из коэффициентов? Или «заключу» часть функции в модуль?
Можно ли не строить для этого новый график, а просто передвинуть/растянуть старый?
Можно! И на этом уроке мы научимся производить такие трансформации.
Благодаря таким трансформациям мы станем понимать, как выглядят графики функций при всех значениях параметра и научимся решать задачи из ЕГЭ на эту тему.
Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике
К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете.
Если у вас с этим сложности, приходите к нам.
И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы:
Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».
Хочешь помочь?
Поздравляю! Ты разблокировал достижение «Мастер параболы» 🙂
Теперь ты знаешь все нюансы построения графика квадратичной функции (а если посмотрел вебинары, то и всех остальных элементарных функций!).
Нравится ли тебе строить графики? Была ли эта статья полезна?
Напиши нам в комментариях внизу. Поделись этой статьей с тем, кому нужна помощь.
А если у тебя остались вопросы, задай их! И мы обязательно тебе ответим.
