что значит доказать теорему

Теорема

В математических текстах теоремами обычно называют только те доказанные утверждения, которые находят широкое применение в решении математических задач. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены (исключение составляют в основном работы по логике, в которых изучается само понятие доказательства, а потому в некоторых случаях теоремами называют даже неопределённые утверждения). Менее важные утверждения-теоремы обычно называют леммами, предложениями, следствиями, условиями и прочими подобными терминами. Утверждения, о которых неизвестно, являются ли они теоремами, обычно называют гипотезами.

Наиболее знаменитыми являются: теорема Пифагора, теорема Ферма.

Связанные понятия

Упоминания в литературе

Связанные понятия (продолжение)

Измери́мые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами множеств, в частности измеримыми пространствами.

Метри́ческим простра́нством называется непустое множество, в котором между любой парой элементов, обладающих определенными свойствами, определено расстояние, называемое ме́трикой.

Теория комбинаторных схем — это часть комбинаторики (раздела математики), рассматривающая существование, построение и свойства семейств конечных множеств, структура которых удовлетворяет обобщённым концепциям равновесия и/или симметрии. Эти концепции не определены точно, так что объекты широкого диапазона могут пониматься как комбинаторные схемы. Так, в одном случае комбинаторные схемы могут представлять собой пересечения множеств чисел, как в блок-схемах, а в другом случае могут отражать расположение.

Источник

Учимся доказывать теорему.

Усвоить содержание теорем (правил, формул, тождеств и т. д.), которые изучаются в школе, не так уж трудно. Для этого необходимо систематически пытаться понять смысл теоремы (правил, формул, тождеств и т. д., как можно чаще применять их при решении задач, при доказательстве других теорем. Такая работа, как показывает практика, приводит к непроизвольному усвоению их содержания, запоминанию их формулировок. Значительно труднее научиться доказывать теоремы. При этом речь идет не о запоминании доказательства той или иной теоремы, которая была рассмотрена на уроке. Специально запоминать доказательство не нужно, нужно научиться самому доказывать теоремы. Доказательства теорем в учебнике следует рассматривать как образец (эталон) рассуждений при доказательстве какого-либо утверждения.

Что значит доказать теорему, что такое доказательство?

Доказательство в широком смысле — это логическое рассуждение, в процессе которого истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других положений.

Доказательство математических теорем есть частный случай доказательства вообще. Оно отличается от доказательства в житейских условиях или в других науках тем, что оно совершается по возможности чисто дедуктивным способом (от латинского слова дедукция — выведение), т. е. выведением новой доказываемой мысли (утверждения, суждения) из ранее доказанных или принятых без доказательства мыслей (аксиом) по правилам логики без каких-либо ссылок на примеры или опыт. В других науках, в житейских обстоятельствах мы для доказательства часто прибегаем к примерам, к опыту. Мы говорим: «Смотри» — и это может служить доказательством. В математике такой способ доказательства недопустим, ссылаться, например, на очевидные отношения, иллюстрируемые чертежом, не разрешается. Математическое доказательство должно представлять собой цепочку логических следствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее доказанных теорем до требуемого заключения.

Таким образом, при доказательстве теоремы мы сводим ее к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь еще к другим и т. д. Очевидно, что этот процесс сведения должен быть конечным, и поэтому всякое доказательство в конце концов сводит доказываемую теорему к исходным определениям и принятым без доказательства аксиомам.

Следовательно, аксиомы служат не только для косвенного определения первичных понятий, но и в качестве оснований для доказательства всех теорем математики. Вот почему в числе аксиом встречаются и такие, которые указывают особые свойства понятий, имеющих логические определения. Так, например, параллельные прямые в курсе геометрии являются не первичным понятием, а определяемым. Однако одно из свойств параллельных прямых, а именно что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной, мы вынуждены принять за аксиому, ибо, как было установлено великим русским геометром Н. И. Лобачевским (1792—1856), а также немецким математиком К. Ф. Гауссом (1777—1855) и венгерским математиком Я. Больяй (1802—1860), доказать это свойство параллельных прямых на основе лишь остальных аксиом геометрии невозможно.

Всякий шаг доказательства состоит из трех частей:

1) предложение (аксиома, теорема, определение), на основе которого производится этот шаг доказательства; это основание шага доказательства называется посылкой или аргументом;

2) логическое рассуждение, в процессе которого посылка применяется к условиям теоремы или к ранее полученным следствиям;

3) логическое следствие применения посылки к условиям или ранее полученным следствиям.

В последнем шаге доказательства теоремы в качестве следствия получаем утверждение, которое необходимо было доказать. Покажем процесс доказательства на примере такой теоремы: «Диагонали прямоугольника равны».

В этой теореме нам дан произвольный (любой) прямоугольник,Для того чтобы легче было рассуждать в процессе доказательства, поступают следующим образом. Начертим вполне определенный прямоугольник ABCD, но при доказательстве не будем использовать какие-либо частные особенности этого прямоугольника (например, что его сторона АВ примерно в 2 раза больше стороны AD и т. д.). Поэтому наши рассуждения относительно этого определенного прямоугольника будут верны и для любого другого прямоугольника, т. е. они будут иметь общий характер для всех прямоугольников.

Проведем диагонали АС и BD. Рассмотрим полученные треугольники ABC и ABD. У этих треугольников углы ABC и BAD равны как прямые, катет АВ — общий, а катеты ВС и AD равны как противоположные стороны прямоугольника. Следовательно, эти треугольники равны. Отсюда следует, что стороны АС и BD также равны, что и требовалось доказать.

Все доказательство этой теоремы можно изобразить в виде следующей схемы.

Самое трудное в доказательстве — это найти последовательность посылок (аксиом, теорем, определений), применяя которые к условиям теоремы или промежуточным результатам (следствиям) в конечном итоге можно получить нужное следствие — доказываемое положение.

Какими правилами нужно руководствоваться при поиске этой последовательности? Очевидно, что эти правила не могут носить обязательный характер, они лишь указывают возможные пути поиска. Поэтому они называются эвристическими правилами или просто эвристиками (от греческого слова эврика — нахожу, нашел). Многие выдающиеся математики, такие, как Папп (древнегреческий математик, живший в III в.), Блез Паскаль (1623—1662), Рене Декарт (1596—1650), Жак Адамар (1865—1963), Дьердж Пойя (1887) и многие другие, занимались разработкой эвристик для поиска доказательства теорем и решения задач. Вот некоторые эвристические правила, которые полезно помнить:

1.Полезно заменять названия объектов, о которых идет речь в теореме (задаче), их определениями или признаками.

Например, в рассмотренной выше теореме шла речь о прямоугольнике, и мы для доказательства использовали определение прямоугольника.

2.Если можно, то нужно доказываемое положение раздробить на части и доказывать каждую часть в отдельности.

Так, например, доказательство теоремы: «Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм» — можно разделить на две части: сначала доказать, что одна пара противоположных сторон данного четырехугольника параллельна, а затем доказать, что и вторая пара противоположных сторон также параллельна.

Так следует поступать всегда, когда есть возможность доказываемое утверждение разбить на несколько частей более простых утверждений.

3.В поисках доказательства теоремы полезно идти с двух сторон: от условий теоремы к заключению и от заключения к условиям.

Например, нужно доказать такую теорему: «Если некоторая последовательность такова, что любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, то эта последовательность — арифметическая прогрессия».

Пойдем от условия теоремы. Что нам дано? Дано, что каждый член последовательности, начиная со второго (обозначим его a_n, где n ³ 2), есть среднее арифметическое предшествующего и последующего членов, т.

a_n-1 и a_n+1. Значит, верно такое равенство:
(1)

Теперь пойдем от заключения. А что нам нужно доказать? Нужно доказать, что эта последовательность — арифметическая прогрессия. А какая последовательность называется арифметической прогрессией? Вспоминаем определение:

a_n = a_n-1 + d, где n2, d — постоянное число. (2)

Сопоставляем данное нам условие (1) с заключением (2). Чтобы условие приняло форму заключения, надо преобразовать так:

Отсюда получаем: a_n = a_n-1 + d, а это значит, что согласно определению (2) данная последовательность есть арифметическая прогрессия, что нам и надо было доказать.

Эту эвристику можно и так сформулировать: надо стараться сблизить условие и заключение теоремы, преобразуя их или заменяя их следствиями.

Известен и ряд более частных эвристических правил, которые применяются при поиске лишь некоторых теорем. Например, такая эвристика: для того чтобы доказать равенство каких-либо отрезков, надо найти или построить фигуры, соответствующими сторонами которых являются эти отрезки; если фигуры окажутся равными, то будут равны и соответствующие отрезки.

Изучая теоремы, нужно не просто запоминать их доказательство, а каждый раз думать и устанавливать, какими методами они доказываются, какими эвристическими правилами руководствовались при нахождении этих доказательств, как догадались (додумались) до этих доказательств.

В ряде случаев для доказательства теорем используется особый прием, называемый «доказательством от противного» или «приведением к нелепости».

Сущность этого приема заключается в том, что предполагают несправедливость (ложность) заключения данной теоремы и доказывают, что такое предположение приводит к противоречию с условием или с ранее доказанными теоремами или аксиомами. А так как любое утверждение может быть либо верным, либо неверным (ничего другого быть не может), то полученное противоречие показывает, что допущение о ложности заключения теоремы неверно и, следовательно, заключение верно, тем самым теорема доказана.

Теорема. Две прямые, порознь параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: а||с, b||с.
Доказать: а||b.

Докажем эту теорему методом от противного. Допустим, что заключение теомы неверно, т. е. прямая а непараллельна прямой b. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. А так как по условию каждая из этих прямых параллельна прямой с, то получается, что через точку М проведены две прямые а и b, параллельные одной и той же прямой с. А мы знаем по аксиоме параллельности, что через точку вне прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Пришли к противоречию с аксиомой. Это показывает, что наше предположение о непараллельности прямых а и b неверно, следовательно, а||b, что и требовалось доказать.

Теорема. Среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше <значит: больше или равно) среднего геометрического этих чисел.

Эту теорему можно так записать:

, где а>0, b>0, (1)

Ее можно доказать как прямым способом, так и способом от противного. Докажем ее способом от противного.

Для этого допустим, что она неверна, т. е. среднее арифметическое меньше среднего геометрического двух положительных чисел:; (2)

Вот пример ошибочного решения задачи.

Задача. Решить уравнение 3+ x + 2 = 0 (1).

Допустим, что уравнение (1) имеет решение и, следовательно, равенство (1) верно. Тогда получим: З= — х — 2. Возведем обе части равенства в квадрат: 9х = х 2 + 4х + 4 или х 2 —5x + 4 = 0, отсюда x₁ =4, х₂=1. Можно ли найденные значения х считать корнями уравнения (1)? Некоторые ученики отвечают на этот вопрос утвердительно, ибо ведь все преобразования уравнения верные. И все же ни одно из найденных значений х не является корнем (1). Это подтверждает проверка. Подставляя найденные значения х в (1), получаем явно нелепые равенства: 12 = 0 и 6 = 0.

А как все же решить это уравнение. Заметим, что выражение в левой части уравнения имеет смысл, если x0. Тогда левая часть уравнения при любых допустимых значениях х принимает только положительные значения и ни как не может быть равной 0, следовательно, данное уравнение корней не имеет.

Таким образом вы должны учиться доказывать теоремы (формулы, тождества и т. д.), овладевать общими способами поиска доказательства теорем.

Источник

Ориентировочная деятельность при обучении доказательству теорем

Разделы: Математика

Известно, что доказательство теорем является главным камнем преткновения учащихся при изучении школьного курса геометрии. Они заучивают теоремы, воспроизводят их учителю и … забывают. Если изменить положение чертежа, обозначить его другими буквами, то учащиеся часто не могут справиться с доказательством. Изучение теорем у многих учащихся остаётся на уровне простого заучивания, не приводит к формированию приёмов доказательства, составляющих важную часть математического мышления. Эта проблема является объектом внимания не только преподавателей геометрии, математиков-методистов, но и психологов.

Центральным звеном доказательства геометрических утверждений, является нахождение пути его осуществления, что во многом зависит от овладения учащимися ориентировочной деятельностью. Выделим компоненты ориентировочной деятельности, кратко рассмотрим сущность каждого из них.

1. Распознавание понятий.

Умение распознавать геометрические понятия, входящие в условие доказываемых утверждений, особенно важно тогда, когда признаки этих понятий содержатся в условии в опосредованном виде, т.е. заданы через системы признаков других понятий. Существует довольно большая категория теорем (как и задач на доказательство), доказательство которых сводится к обоснованию наличия в условиях этих теорем того или иного геометрического понятия. Доказать такого рода теорему– это значит подвести заданные в её условии геометрические явления под искомое понятие, т.е. проверить обладают ли геометрические явления, заданные в условии, всеми необходимыми и достаточными признаками искомого понятия, содержащегося в заключении.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Посмотрим, какие признаки заданы в условии.

Выделим признаки, по которым можно указать, что требуется.

Но даже хорошо владея действиями “распознавание понятий” и зная признаки искомого понятия, ученик может не знать, как найти их, как системой одних обнаружить систему других. Например, чтобы доказать, что BD – высота, надо “ развернуть” понятие и увидеть, что скрывается за этим понятием. Таким образом, формирование полноценной системы понятий является очень важным условием целостности доказательства теорем, однако это лишь предварительные условия.

2. Проведение анализа состава доказываемого утверждения.

Необходимо обучать учащихся этому. Успешному осуществлению такого рода анализа способствует использование следующей системы указаний по его проведению:

1) Выделить условие и требование доказываемого утверждения; сделать их сокращённую запись.

2) Начать изучение условия по чертежу. При выполнения рисунка избегать частных случаев, выделить на рисунке (цветом или толщиной линии) данные и искомые величины.

3) Сформулировать определения тех понятий, которые содержатся в условии и заключении.

3. Поиск плана доказательства.

При поиске плана доказательства утверждений полезно использовать следующие указания:

1) Вспомнить и применить теорему (или другое истинное утверждение), которое непосредственно устанавливает зависимость между данными и искомыми величинами.

2) Сделать попытку расчленить данное утверждение на ряд более простых утверждений, последовательное доказательство которых может привести к искомому доказательству.

3) Вспомнить утверждение, аналогичное данному. Воспользоваться способом его доказательства.

4) Если возникает трудность при доказательстве равенства двух величин, то одну из них или обе заменить равносильными и доказывать равенство последних.

5) При необходимости заменить утверждение, которое надо доказать, другим, равносильным данному.

Вернёмся к нашему примеру.

Сопоставим заключение с условием. Из условия видно, что BD – это 1) отрезок, 2) проведённый из вершины В, 3) соединяющий В с точкой на противолежащей стороне.

1.Чтобы доказать, что BD – медиана, достаточно показать, что AD = DC.

Вспомним признаки равенства отрезков, мы знаем, что

а) два отрезка равны, если при наложении они совпадают;

б) два отрезка равны, если их длины равны;

г) два отрезка равны, если они являются отрезками соответственно равных фигур.

Выберем признак, который нам нужен. Это г).

Осталось доказать, что ABD = CBD

ABD = CBD по 1 признаку

AB = BC по условию, т.к. ABC – равнобедренный

ABD = CBD, т.к. BD биссектриса.

Из равенства треугольников следует AD = DC.

2. Что бы доказать, что BD – высота, достаточно показать, что BD AC.

Развернем условие BD AC.

а) прямые BD и AC пересекаются под прямым углом;

б) ADB – прямой, CDB – прямой;

в) хотя бы один из углов прямой;

г) ADB и CDB смежные и равны.

АВD = CBD, значит ADB = CDB, кроме того они смежные, т.е. BD – высота АВC.

Для доказательства теоремы необходимо было подвести данное условие, под понятие “медиана” и “высота”. Как видно из этого примера при доказательстве теорем учащийся должен обладать умением выводить следствие из условия. А это необходимо формировать.

4. Доказательства вспомогательных утверждений.

Этот компонент ориентировочной деятельности часто облегчает пути доказательства основного утверждения. Важное значение при этом имеет выработка умения переносить принцип доказательства со вспомогательного утверждения на основное. Это умение, как показали исследования, базируется на проведении анализа условия вспомогательного утверждения через его соотнесения с требованием данного.

Например, утверждение “Если AОB = CОB, то DB AC и AB = AC, BAD = CAD. Доказать, что DC = DB.” являются вспомогательными для теоремы о свойстве биссектрисы, проведенной к основанию равнобедренного треугольника.

5. Применение указаний по использованию конкретных методов доказательств.

Группой ученых психологов под руководством Н. Талызиной проведены исследования, которые позволили установить, что все теоремы, изучаемые в школе, могут быть доказаны с помощью трех методов:

а) метод подведения под понятие, путем выделения системы необходимых признаков, скрытых за другими понятиями;

б) метод доказательства от противного;

в) использование дополнительных построений.

Суть метода от противного.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Т.е. получим противоречие с условием теоремы. Таким образом, утверждение, что AB и CD скрещивающиеся верно. Теорема доказана.

6. Применение обучающих алгоритмов доказательств определенных типов утверждений.

Следует отметить, что, чем лучше учащиеся владеют различными алгоритмами доказательства тех или иных типов утверждений, тем выше уровень их умений осуществлять поиски доказательств. Если обратиться к задачникам геометрии, то нетрудно заметить, что можно выделить ряд общих алгоритмов доказательства определенных типов теорем. Рассмотрим некоторые из них.

Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками на которые делится гипотенуза этой высотой.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Сравнивая эти теоремы можно увидеть общие логические шаги. Найденный обобщенный прием работы по доказательству оформим в виде алгоритма.

При обучении учащихся самостоятельно конструированию алгоритмов в процессе доказательства теорем можно использовать различные проблемные ситуации, ставящие ученика в положение исследователя. Чем отличаются доказательства рассмотренных теорем? Что общего можно выделить в рассмотренных доказательствах? Выпишите общие компоненты обоих доказательств. Такова должна быть методика по обучению доказательств с помощью алгоритмов.

Опыт показывает, что систематическое проведение работы по ориентировочной деятельности учащихся по усвоению и обучению доказательств теорем обеспечивает повышение умения доказывать утверждения и решать задачи.

Источник