что значит непрерывность функции

Непрерывность функций – теоремы и свойства

Определение непрерывности функции

Определение непрерывности справа (слева)
Функция f ( x ) называется непрерывной справа (слева) в точке x ₀ , если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x ₀ равен значению функции в x ₀ :
.

Свойства непрерывных в точке функций

Свойство непрерывности слева и справа
Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в справа и слева.

Доказательства свойств приводятся на странице «Свойства непрерывных в точке функций».

Непрерывность сложной функции

Предел сложной функции

Точки разрыва

Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.

Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.

Таким образом, точка устранимого разрыва – это точка разрыва 1-го рода, в которой скачек функции равен нулю.

Определение точки разрыва 2-го рода
Точка называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.

Обратные функции

Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.

Свойства и непрерывность элементарных функций

Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. Далее мы приводим формулировки соответствующих теорем и даем ссылки на их доказательства.

Показательная функция

Логарифм

Экспонента и натуральный логарифм

Степенная функция

Тригонометрические функции

Теорема о непрерывности тригонометрических функций
Тригонометрические функции: синус ( sin x ), косинус ( cos x ), тангенс ( tg x ) и котангенс ( ctg x ), непрерывны на своих областях определения.

Теорема о непрерывности обратных тригонометрических функций
Обратные тригонометрические функции: арксинус ( arcsin x ), арккосинус ( arccos x ), арктангенс ( arctg x ) и арккотангенс ( arcctg x ), непрерывны на своих областях определения.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Источник

Непрерывность функции в точке, разрывы первого и второго рода

Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.

Непрерывность функции в точке

Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.

Решение

Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:

на чертеже они обозначены зеленым цветом.

Соответствующая последовательность функций:

на рисунке обозначена синим цветом.

После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:

Устранимый разрыв первого рода

Решение

Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х 0 = 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Неустранимый разрыв первого рода

Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.

Решение

Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:

Ответ: в конечном счете мы получили:

Нам остается только подготовить чертеж данного задания.

Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)

Решение

Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 слева. К примеру:

Ей соответствует последовательность значений функции:

Источник

Непрерывность функции

Понятие непрерывности функции.

Функция $f(x)$, определенная в некоторой окрестности точки $a$, называется непрерывной в точке $a$, если
$$
\displaystyle \lim_f(x)=f(a)\label
$$

Таким образом, функция $f$ непрерывна в точке $a$, если выполнены следующие условия:

Определение непрерывности функции $f(x)$ в точке $a$, выраженное условием \eqref, можно сформулировать с помощью неравенств (на языке $\varepsilon-\delta$), с помощью окрестностей и в терминах последовательностей соответственно в виде

Следует обратить внимание на то, что в определении непрерывности функции, в отличие от определения предела, рассматривается полная, а не проколотая окрестность точки $a$, и пределом функции является значение этой функции в точке $a$.

Назовем разность $x-a$ приращением аргумента и обозначим $\Delta x$, а разность $f(x)-f(a)$ — приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента $\Delta x$, и обозначим $\Delta y$. Таким образом,
$$
\Delta x=x-a,\;\Delta y=f(x)-f(a)=f(a+\Delta x)-f(a).\nonumber
$$

При этих обозначениях равенство \eqref примет вид
$$
\lim_<\Delta x\rightarrow 0>\Delta y=0.\nonumber
$$

Таким образом, непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Показать, что функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$, если:

По аналогии с понятием предела слева (справа) вводится понятие непрерывности слева (справа). Если функция $f$ определена на полуинтервале $(a-\delta,a]$ и $\displaystyle \lim_f(x)=f(a)$, то есть$f(a-0)=f(a)$, то эту функцию называют непрерывной слева в точке $a$.

Аналогично, если функция $f$ определена на полуинтервале $[a,a+\delta)$ и $f(a+0)=f(a)$, то эту функцию называют непрерывной справа в точке $a$.

Например, функция $f(x)=[x]$ непрерывна справа в точке $x=1$ и не является непрерывной слева в этой точке, так как $f(1-0)=0,\;f(1+0)=f(1)=1$.

Очевидно, функция непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в этой точке.

Точки разрыва.

Будем предполагать, что функция $f$ определена в некоторой проколотой окрестности точки $a$.

Точку $a$ назовем точкой разрыва функции $f$, если эта функция либо не определена в точке $a$, либо определена, но не является непрерывной в точке $a$.

Следовательно, $a$ — точка разрыва функции $f$, если не выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

Если $a$ — точка разрыва функции $f$, причем в этой точке существуют конечные пределы слева и справа, то есть $\displaystyle \lim_f(x)=f(a-0)$ и $\displaystyle \lim_f(x)=f(a+0)$, то точку $a$ называют точкой разрыва первого рода.

Если $x=a$ — точка разрыва первого рода функции $f(x)$, то разность $f(a+0)-f(a-0)$ называют скачком функции в точке $a$. В случае когда $f(a+0)=f(a-0)$, точку $a$ называют точкой устранимого разрыва. Полагая $f(a)=f(a+0)=f(a-0)=A$, получим функцию
$$
f(x)=\left\<\beginf(x),\;если\;x\neq a,\\A,\;если\;x=a,\end\right.\nonumber
$$
непрерывную в точке $a$ и совпадающую с $f(x)$ при $x\neq a$. В этом случае говорят, что функция доопределена до непрерывности в точке $a$.

Пусть $x=a$ — точка разрыва функции $f$, не являющаяся точкой разрыва первого рода. Тогда ее называют точкой разрыва второго рода функции $f$. В такой точке хотя бы один из односторонних пределов либо не существует, либо бесконечен.

Например, для функции $f(x)=\displaystyle x\sin<\frac<1>>$ точка $x=0$ — точка разрыва первого рода. Доопределив эту функцию по непрерывности, получим функцию
$$
\overline(x)=\left\<\begin
x\sin<\frac<1>>,\;если\;x\neq 0,\\
0,\;если\;x=0,
\end\right.\nonumber
$$
непрерывную в точке $x=0$, так как
$$
\lim_x\sin\frac<1>=0.\nonumber
$$

Для функций $\displaystyle \sin<\frac<1>>$ и $\displaystyle \frac<1>$ точка $x=0$ — точка разрыва второго рода.

Если функция $f$ определена на отрезке $[a,b]$ и монотонна, то она может иметь внутри этого отрезка точки разрыва только первого рода.

$\circ$ Пусть $x_0$ — произвольная точка интервала $(a,b)$. Функция $f$ имеет в точке $x_<0>$ конечные пределы слева и справа. Если, например, $f$ — возрастающая функция, то
$$
f(x_<0>-0)\leq f(x_<0>)\leq f(x_<0>+0),\nonumber
$$
где $f(x_<0>-0)$ и $f(x_<0>+0)$ — соответственно пределы функции $f$ слева и справа в точке $x_<0>$.

Свойства функций, непрерывных в точке.

Локальные свойства непрерывной функции.

Если функция $f$ непрерывна в точке $a$, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки, то есть
$$
\exists\delta>0\quad\exists C>0:\;\forall x\in U_<\delta>(a)\rightarrow|f(x)|\leq C\nonumber
$$

Если функция $f$ непрерывна в точке $a$, причем $f(a)\neq 0$, то в некоторой окрестности точки $a$ знак функции совпадает со знаком числа $f(a)$, то есть
$$
\exists\delta>0:\quad\forall x\in U_<\delta>(a)\rightarrow \operatorname\ f(x)=\operatorname\ f(a).\nonumber
$$

$\circ$ Эти утверждения следуют из свойств пределов. $\bullet$

Непрерывность суммы, произведения и частного.

Если функции $f$ и $g$ непрерывны в точке $a$, то функции $f+g$, $fg$ и $f/g$ (при условии $g(a)\neq 0$) непрерывны в точке $a$.

$\circ$ Это утверждение следует из определения непрерывности и свойств пределов. $\bullet$

Непрерывность сложной функции.

Напомним, что такое сложная функция.

Пусть функции $y=\varphi(x)$ и $z=f(y)$ определены на множествах $X$ и $Y$ соответственно, причем множество значений функции $\varphi$ содержится в области определения функции $f$. Тогда функция, которая принимает при каждом $x\in X$ значение $F(x)=f(\varphi(x))$, называется сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций $\varphi$ и $f$.

Если функция $z=f(y)$ непрерывна в точке $y_0$, а функция $y=\varphi(x)$ непрерывна в точке $x_0$, причем $y_0=\varphi(x_0)$, то в некоторой окрестности точки $x_0$ определена сложная функция $f(\varphi(x_0))$, и эта функция непрерывна в точке $x_0$.

$\circ$ Пусть задано произвольное число $\varepsilon>0$. В силу непрерывности функции $f$ в точке $y_0$ существует число $\rho=\rho(\varepsilon)>0$ такое, что $U_\rho(y_0)\subset D(f)$ и
$$
\forall y\in U_\rho(y_0)\rightarrow f(y)\in U_<\varepsilon>(z_<0>),\label
$$
где $z_<0>=f(y_<0>)$.

В силу непрерывности функции $\varphi$ в точке $x_<0>$ для найденного в \eqref числа $\rho>0$ можно указать число $\delta=\delta_<\rho>=\delta(\varepsilon)>0$ такое, что
$$
\forall x\in U_\delta(x_0)\rightarrow \phi (x)\in U_\rho (y_0).\label
$$

Из условий \eqref и \eqref следует, что на множестве $U_\delta(x_0)$ определена сложная функция $f(\varphi(x))$, причем
$$
\forall x\in U_\delta(x_0)\rightarrow f(y)=f(\varphi(x))\in U_<\varepsilon>(z_<0>),\nonumber
$$
где $z_0=f(\varphi(x_0))=f(y_<0>)$, то есть
$$
\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0:\quad \forall х\in U_\delta(x_0)\rightarrow f(\varphi(х))\in U_\varepsilon(\varphi(x_0)).\nonumber
$$

Это означает, в силу определения непрерывности, что функция $f(\varphi(x))$ непрерывна в точке $x_0$. $\bullet$

Соответствие между окрестностями точек $x_0,\ y_0,\ z_0$ представлено на рис. 11.1. По заданному числу $\varepsilon>0$ сначала находим $\rho>0$, а затем для чисел $\rho>0$ находим $\delta>0$.

Рис. 11.1

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функцию $f(x)$ называют непрерывной на отрезке $[a,b]$, если она непрерывна в каждой точке интервала $(a,b)$ и, кроме того, непрерывна справа в точке $a$ и непрерывна слева в точке $b$.

Ограниченность непрерывной на отрезке функции.

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то она ограничена, то есть
$$
\exists C>0:\forall x\in[a,\ b]\rightarrow|f(x)|\leq C.\label
$$

$\circ$ Предположим противное, тогда
$$
\forall C>0\;\exists x_\in [a,b]:\;|f(x_)|>C.\label
$$

Полагая в этом выражении $C=1,2\ldots,n,\ldots,$ получим, что
$$
\forall n\in\mathbb\quad\exists x_\in[a,b]:\;|f(x_)|>n.\label
$$

Последовательность $x_n$ ограничена, так как $a\leq x_\leq b$ для всех $n\in\mathbb$. По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то есть существуют подпоследовательность $x_$ и точка $\xi$ такие, что
$$
\lim_x_>=\xi,\label
$$
где в силу условия \eqref для любого $k\in\mathbb$ выполняется неравенство
$$
a\leq x_>\leq b.\label
$$

Из условий \eqref и \eqref следует, что $\xi\in [а,b]$ а из условия \eqref в силу непрерывности функции $f$ в точке $\xi$ получаем
$$
\displaystyle \lim_f(x_>)=f(\xi).\label
$$

С другой стороны. утверждение \eqref выполняется при всех $n\in\mathbb$ и, в частности, при $n=n_k\;(k=1,2,\ldots)$, то есть
$$
|f(x_>)|>n_,\nonumber
$$
откуда следует, что $\displaystyle \lim_f(x_>)=\infty$, так как $n_\rightarrow +\infty$ при $k\rightarrow\infty$. Это противоречит равенству \eqref, согласно которому последовательность $\>)\>$ имеет конечный предел. По этому условие \eqref не может выполняться, то есть справедливо утверждение \eqref. $\bullet$

Теорема Вейерштрасса неверна для промежутков, не являющихся отрезками. Например, функция $f(x)=\displaystyle \frac<1>$ непрерывна на интервале $(0,1)$, но не ограничена на этом интервале. Функция $f(x)=x^<2>$ непрерывна на $\mathbb$, но не ограничена на $\mathbb$.

Достижимость точных граней.

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то она достигает своей точной верхней и нижней грани, то есть
$$
\exists\xi\in[a,b]:\quad f(\xi)=\sup_ f(x),\label
$$

$\circ$ Так как непрерывная на отрезке функция $f(x)$ ограничена (теорема 3), то есть множество значений, принимаемых функцией $f$ на отрезке $[a,b]$, ограничено, то существуют $\displaystyle \sup_f(x)$ и $\displaystyle \inf_f(x)$.

Докажем утверждение \eqref. Обозначим $M=\displaystyle \sup_f(x)$. В силу определения точной верхней грани выполняются условия
$$
\forall х\in [a,b]\rightarrow f(x)\leq M,\label
$$
$$
\forall\varepsilon>0\;\exists x(\varepsilon)\in[a,b]:\quad f(x(\varepsilon))>M-\varepsilon.\label
$$

Полагая $\varepsilon=\displaystyle \frac<1><2>, \displaystyle \frac<1><3>,\ldots,\frac<1>,\ldots$, получим в силу условия \eqref последовательность$\$, где $x_n=\displaystyle x\left(\frac1n\right)$, такую, что для всех $n\in\mathbb$ выполняются условия
$$
x_n\in [a,b],\label
$$
$$
f(x_)>M-\displaystyle \frac<1>.\label
$$

Из соотношений \eqref, \eqref и \eqref следует, что
$$
\forall n\in\mathbb\rightarrow M-\frac<1>\; Замечание 4

Теорема 4 неверна для интервалов: функция, непрерывная на интервале, может не достигать своих точных граней. Например, функция $f(x)=x^<2>$ не достигает на интервале (0,1) своей точной нижней грани, равной нулю, и точной верхней грани, равной единице.

Промежуточные значения.

(теорема Коши о нулях непрерывной функции)

Если функция $f$ непрерывна на отрезке [a,b] и принимает в его концах значения разных знаков, то есть \(f(a)f(b)\; Доказательство

$\circ$ Разделим отрезок $[a,b]$ пополам. Пусть $d$ — середина этого отрезка. Если $f(d)=0$, то теорема доказана, а если $f(d)\neq 0$, то в концах одного из отрезков $[a,d],\ [d,b]$ функция $f$ принимает значения разных знаков. Обозначим этот отрезок $\Delta_<1>=[a_<1>,b_<1>]$. Пусть $d_<1>$ — середина отрезка $\Delta_1$. Возможны два случая:

Продолжая эти рассуждения, получим:

С другой стороны, из неравенства \eqref следует, что $b_-a_\rightarrow 0$ при $n\rightarrow\infty$, и поэтому
$$
\exists n_0\in\mathbb:\quad b_>-a_>\; Замечание 5

Теорема 5 утверждает, что график функции $y=f(x)$, непрерывной на отрезке $[a,b]$ и принимающей в его концах значения разных знаков, пересекает ось $Ox$ (рис. 11.2) хотя бы в одной точке отрезка $[a,b]$.

Рис. 11.2

(теорема Коши о промежуточных значениях)

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и $f(a)\neq (b)$, то для каждого значения $C$, заключенного между $f(a)$ и $f(b)$, найдется точка $\xi\in [a,b]$ такая, что $f(\xi)=C$.

$\circ$ Обозначим $f(a)=A,\ f(b)=B$. По условию $А\neq В$. Пусть, например, $A 0$ и по теореме 5 найдется точка $\xi\in [a,b]$ такая, что $\varpi(\xi)=0$, то есть $f(\xi)=C$. Утверждение \eqref доказано. $\bullet$

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b],\ m=\displaystyle \inf_ f(x),\ M=\displaystyle \sup_ f(x)$, то множество значений, принимаемых функцией $f$ на отрезке $[a,b]$, есть отрезок $[m,M]$.

$\circ$ Для всех $x\in[a,b]$ выполняется неравенство $m\leq f(x)\leq M$, причем согласно теореме 4 функция $f$ принимает на отрезке $[a,b]$ значения, равные $m$ и $М$. Все значения из отрезка $[m,M]$ функция принимает по теореме 6. Отрезок $[m,M]$ вырождается в точку, если $f(x)=const$ на отрезке $[a,b]$. $\bullet$

Существование и непрерывность функции, обратной для непрерывной и строго монотонной функции.

Ранее мы уже рассматривали понятие обратной функции. Докажем теорему о существовании и непрерывности обратной функции.

Если функция $y=f(x)$ непрерывна и строго возрастает на отрезке $[a,b]$, то на отрезке $[f(a),(b)]$ определена функция $x=g(y)$, обратная к f, непрерывная и строго возрастающая.

$\circ$ Существование обратной функции. Обозначим $A=f(a),\;B=f(b)$. Так как f — возрастающая функция, то для всех $х\in [a,b]$ выполняется неравенство $A\leq f(x)\leq B$, где $A= \displaystyle \inf_ f(x),\;B=\sup_f(x)$, и в силу непрерывности f (следствие из теоремы 6) множество значений функции $E(f)=[A,B]$.

Согласно определению обратной функции (\S\ 9,п. 9) нужно доказать, что для каждого $у_0\in [A,В]$ уравнение
$$
f(x)=y_<0>\label
$$
имеет единственный корень $x=x_<0>$, причем $x_0\in [a,b]$.

Существование хотя бы одного корня уравнения \eqref следует из теоремы 6. Докажем, что уравнение \eqref имеет на отрезке $[a,b]$ единственный корень.

Предположим, что наряду с корнем $x=x_<0>$ уравнение \eqref имеет еще один корень $x=\widetilde_<0>$, где $\widetilde_<0>\neq x_0$; тогда $f(\widetilde)=y_<0>,\;\widetilde x_0\in[a,b]$.

Пусть, например, $\widetilde_0>x_0$. Тогда в силу строгого возрастания функции $f$ на отрезке $[a,b]$ выполняется неравенство $f(\widetilde_0)>f(x_<0>)$. С другой стороны, $f(\widetilde_0)=f(x_0)=y_<0>$. Отсюда следует, что неравенство $\widetilde_0>x_<0>$ не может выполняться. Следовательно, $\widetilde_0=x_0$. Существование обратной функции доказано, то есть на отрезке $[A,В]$ определена функция $x=f^<-1>(y)=g(y)$, обратная к $f$, причем $(g)=[a,b]$ и
$$
g(f(x))=x,\quad x\in[a,b],\quad f(g(y))=y,\quad u\in [A,B].\label
$$

Монотонность обратной функции. Докажем, что $g(y)$ — строго возрастающая на отрезке [A,В] функция, то есть
$$
\forall\;y_<1>,\;y_<2>\in [A,B]:\quad y_<1>\; Замечание 6

Если функция $f$ непрерывна и строго убывает на отрезке $[a,b]$, то обратная к ней функция $g$ непрерывна и строго убывает на отрезке $[f(b),f(a)]$.

Аналогично формулируется и доказывается теорема о функции $g$, обратной к функции $f$, для случаев, когда функция $f$ задана на интервале (конечном либо бесконечном) и полуинтервале.
Если функция $f$ определена, строго возрастает и непрерывна на интервале $(a,b)$, то обратная функция $g$ определена, строго возрастает и непрерывна на интервале $(A,B)$, где
$$
A=\lim_f(x),\quad B=\lim_f(x).\nonumber
$$

Источник

Что значит непрерывность функции

Теорема 1.
Пусть функция $f\left( x \right)$ непрерывна в точке $x = a$ и $C$ является константой. Тогда функция $Cf\left( x \right)$ также непрерывна при $x = a$.

Теорема 2.
Даны две функции  и , непрерывные в точке $x = a$. Тогда сумма этих функций $ + $ также непрерывна в точке $x = a$.

Теорема 3.
Предположим, что две функции  и  непрерывны в точке $x = a$. Тогда произведение этих функций  также непрерывно в точке $x = a$.

Теорема 4.
Даны две функции  и , непрерывные при $x = a$. Тогда отношение этих функций $\large\frac<><>\normalsize$ также непрерывно при $x = a$ при условии, что $ \ne 0$.

Теорема 5.
Предположим, что функция  является дифференцируемой в точке $x = a$. Тогда функция  непрерывна в этой точке (т.е. из дифференцируемости следует непрерывность функции в точке; обратное − неверно).

Теорема 6 (Теорема о предельном значении).
Если функция  непрерывна на закрытом и ограниченном интервале $\left[ \right]$, то она ограничена сверху и снизу на данном интервале. Другими словами, существуют числа $m$ и $M$, такие, что \[m \le f\left( x \right) \le M\] для всех $x$ в интервале $\left[ \right]$ (рисунок 1).

Теорема 7 (Теорема о промежуточном значении).
Пусть функция  непрерывна на закрытом и ограниченном интервале $\left[ \right]$. Тогда, если $c$ − некоторое число, большее  и меньшее , то существует число , такое, что \[f\left( <> \right) = c.\] Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 2.

Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.

Источник

Лекция 14. Непрерывность функции

1. Непрерывность функции в точке

Тот же факт можно записать иначе:

lim f ( x ) = f (lim x )

Функция f ( x ) называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного

2. Свойства непрерывных функций

Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о

функции в точке x 0 является бесконечно малой величиной.

3. Непрерывность некоторых элементарных функций

кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида непрерывна на всей области определения.

3. Тригонометрические функции sin и cos непрерывны на своей области определения.

4. Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Определение. Функция f ( x ) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).

При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.

Свойство 7 : Если функция f ( x ) определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция x = g ( y ) тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если

в точке x = 1 функция непрерывна в точке x = 1

Источник