Взаимное расположение плоскостей
Параллельные плоскости
Получим условия параллельности или совпадения двух плоскостей и заданных общими уравнениями:
Необходимым и достаточным условием параллельности или совпадения плоскостей (4.23) является условие коллинеарности их нормалей Следовательно, если плоскости (4.23) параллельны или совпадают, то т.е. существует такое число что
Плоскости совпадают, если помимо этих условий справедливо Тогда первое уравнение в (4.23) имеет вид т.е. равносильно второму, поскольку
Таким образом, плоскости (4.23) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число что но Плоскости (4.23) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны: и
Условия параллельности и совпадения плоскостей (4.23) можно записать в виде
Отсюда следует критерий параллельности или совпадения двух плоскостей (4.23):
Поверхности уровня линейного четырехчлена
Поверхностью уровня функции трех переменных называется геометрическое место точек координатного пространства в которых функция принимает постоянное значение, т.е.
Для линейного четырехчлена уравнение поверхности уровня имеет вид
При любом фиксированном значении постоянной уравнение (4.24) описывает плоскость. Рассмотрим поведение семейства поверхностей уровня, отличающихся значением постоянной. Поскольку коэффициенты и не изменяются, то у всех плоскостей (4.24) будет одна и та же нормаль Следовательно, поверхности уровня линейного четырехчлена D представляют собой семейство параллельных плоскостей (рис.4.19). Поскольку нормаль совпадает с градиентом (см. пункт 3 замечаний 4.2), а градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции, то при увеличении постоянной поверхности уровня (4.24) переносятся параллельно в направлении нормали.
Пересекающиеся плоскости
Необходимым и достаточным условием пересечения двух плоскостей (4.22) является условие неколлинеарности их нормалей, или, что то же самое, условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных:
При этом условии система уравнений
имеет бесконечно много решений, которые определяют прямую пересечения плоскостей, заданных уравнениями (4.23).
Угол между плоскостями
Угол между двумя плоскостями можно определить как угол между их нормальными векторами. По этому определению получаются не один угол, а два смежных угла, дополняющих друг друга до В элементарной геометрии из двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина угла между двумя плоскостями удовлетворяет условию
Если — нормали к плоскостям и соответственно (рис.4.20,а), то величина угла между этими плоскостями вычисляется по формуле:
Необходимым и достаточным условием перпендикулярности плоскостей (4.23) является условие ортогональности их нормалей, т.е.
При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла (рис.4.20). Величина двугранного угла удовлетворяет условию
Пример 4.10. Найти величину того угла, образованного плоскостями и внутри которого лежит точка
Решение. По уравнениям плоскостей находим нормали а также величину угла между нормалями, используя (4.26):
Подставляя координаты точки в левые части уравнений плоскостей, выясняем, каким полупространствам принадлежит эта точка. Для плоскости имеем 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;»/> значит, точка лежит в положительном полупространстве, определяемом плоскостью Для плоскости имеем 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;»/> значит, точка лежит также в положительном полупространстве, определяемом плоскостью Поскольку точка принадлежит одноименным полупространствам (положительным), то искомый угол — это угол смежный найденному углу
Пучки плоскостей
Собственным пучком плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через фиксированную прямую ( ось пучка ).
Несобственным пучком плоскостей называется совокупность плоскостей, параллельных фиксированной плоскости (осью несобственного пучка плоскостей считается бесконечно удаленная прямая).
Любые две плоскости и определяют пучок плоскостей, содержащий заданные плоскости и Если плоскости и пересекаются, то прямая пересечения является осью собственного пучка (рис.4.21,а). Если плоскости и параллельны, то они определяют несобственный пучок параллельных плоскостей (рис.4.21,б).
Пусть заданы уравнения двух плоскостей (4.23):
Линейной комбинацией этих уравнений называется уравнение
где числа — коэффициенты линейной комбинации. Его можно записать в форме
Заметим, что линейная комбинация уравнений является уравнением первой степени для любых значений коэффициентов, кроме случая, когда все коэффициенты при неизвестных равны нулю, т.е. при одновременном выполнении условий
Эти значения параметров считаются недопустимыми.
Уравнение (4.27) называется уравнением пучка плоскостей, содержащего плоскости
При любых допустимых значениях параметров уравнение (4.27) задает плоскость, принадлежащую пучку, и наоборот, для любой плоскости пучка найдутся такие значения параметров что уравнение (4.27) будет задавать эту плоскость.
Доказательство утверждения аналогично доказательству свойства пучка прямых.
Пример 4.11. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей и через точку
Решение. Искомая плоскость входит в пучок плоскостей, задаваемый уравнением (4.27)
Подставляя координаты точки получаем:
Возьмем, например, и подставим в уравнение пучка:
Итак, искомое уравнение получено.
Связки плоскостей
Собственной связкой плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через фиксированную точку ( центр связки ).
Несобственной связкой плоскостей называется совокупность плоскостей, параллельных фиксированной прямой (центром несобственной связки плоскостей считается бесконечно удаленная точка).
Уравнение собственной связки плоскостей с центром имеет вид
где — произвольные параметры, одновременно не равные нулю.
Уравнение связки плоскостей (собственной (рис.4.22,а) или несобственной (рис.4.22,6)) можно получить в виде линейной комбинации уравнений трех плоскостей:
где — коэффициенты линейной комбинации. Заметим, что линейная комбинация уравнений является уравнением первой степени для любых значений коэффициентов, кроме случая, когда все коэффициенты при неизвестных равны нулю. Эти значения параметров считаются недопустимыми.
Уравнение (4.28) называется уравнением связки плоскостей, содержащей три плоскости
При любых допустимых значениях параметров уравнение (4.28) задает плоскость, принадлежащую связке, и наоборот, для любой плоскости связки найдутся такие значения параметров что уравнение (4.28) будет задавать эту плоскость.
Доказательство утверждения аналогично доказательству свойства пучка прямых.
(6)
является уравнениями прямой пересечения данных плоскостей.
Доказательство. Первое и второе условия теоремы равносильны коллинеарности нормальных векторов данных плоскостей:
.
Если 
, то 
, 
, 
, 
и уравнение плоскости 
принимает вид:
Коэффициент пропорциональности k не может быть равен нулю, т.к. 
и при 
получаем, что 
, что противоречит определению нормального вектора. Следовательно, уравнение плоскости 
совпадает с уравнением плоскости 
, а это означает, что плоскости совпадают.
Если 
, то это означает коллинеарность нормальных векторов обеих плоскостей, а значит плоскости либо параллельны, либо совпадают. Но в этом случае плоскости не могут совпадать и остается единственная возможность их параллельности. Третье условие теоремы равносильно тому, что нормальные векторы плоскостей не коллинеарные, а потому они не совпадают и не параллельны, а следовательно, они пересекаются. Из геометрии известно, что линия пересечения двух плоскостей является прямой. Точка М лежит на прямой пересечения двух плоскостей 
и 
тогда и только тогда, когда она лежит одновременно на обеих плоскостях и ее координаты удовлетворяют обоим уравнениям системы (6), т.е. являются решением этой системы. А это означает, что система (6) является уравнениями прямой пересечения плоскостей, ч.т.д.Теорема доказана.
Билет №10 Паралельность прямых и плоскости
Теорема 2.4. Признак параллельности прямой и плоскости.
Если прямая вне плоскости параллельна какой-нибудь прямой на плоскости, то эта прямая параллельна и самой плоскости
Теорема 2.5. Теорема о следе.
Действительно, прямые a и b не являются скрещивающимися, так как они лежат в плоскости β. Кроме того, эти прямые не имеют общих точек, так как a || α.
Билет №11 Пересечение прямой линии с плоскостью
Если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей, она пересекает плоскость. Задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью сводится к следующему: 1) проведению вспомогательной плоскости (Вспомогательную плоскость рекомендуется выбирать такую, которая даст наиболее простое графическое решение задачи) через данную прямую; 2) нахождению линии пересечения вспомогательной плоскости с данной плоскостью; 3) определению точки пересечения данной прямой с линией пересечения плоскостей, а следовательно, с данной плоскостью.
Билет №10 Способы преобразования чертежей Решение метрических задач способом вращения вокруг осей
Способы преобразования комплексного чертежа. Способ комплексного проецирования основан на том, что точку (предмет) проецируют на несколько взаимно перпендикулярных плоскостей проекций, используя прямоугольное проецирование, а затем эти плоскости проекции совмещают с одной плоскостью (Рис. 1, 2) При использовании двух плоскостей проекции (см. рис. 2) плоскость П1 располагают горизонтально и называют горизонтальной плоскостью поверхности.
Сущность этого способа заключается в том, что пространственные положения заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекции вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задаче положении.
Билет №11Решение метрических задач способом вращения вокруг оси
Задачи метрические – при решении задач этой группы появляется возможность ответить на вопросы, касающиеся как внутренней метрики заданных геометрических объектов (определение расстояния между различными точками объекта и нахождения углов между линиями и поверхностями, принадлежащими этому объекту), так и определение расстояний между точками и величин углов между линиями и поверхностями, принадлежащими различным объектам.
В начертательной геометрии задачи решаются графически. Количество и характер геометрических построений при этом определяются не только сложностью задачи, но и в значительной степени зависит от того, с какими проекциями (удобными или неудобными) приходится иметь дело. При этом наиболее выгодным частным положением геометрического объекта следует считать:
· Положение, перпендикулярное к плоскости проекций (для решения позиционных, а в ряде случаев, и метрических задач);
· Положение, параллельное по отношению к плоскости проекций (при решении метрических задач).
При решении метрических задач, связанных с определением истинных размеров изображенных на эпюре фигур, могут встретиться значительные трудности, если заданные проекции не подвергнуть специальным преобразованиям.
Билет №14 Кривые линии
Кривая линия определяется положением составляющих ее точек. Кривую линию называют плоской, если все точки кривой лежат в одной плоскости, и пространственной, если точки не принадлежат одной плоскости.
Кривая линия — это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Термин «кривая» в разных разделах математики определяется по-разному.
В начертательной геометрии кривую рассматривают как траекторию, описанную движущей точкой, как проекцию другой кривой, как линию пересечения двух поверхностей, как множество точек, обладающих каким-либо общим для всех их свойством и т.д Каждая кривая включает в себя геометрические элементы, которые составляют её определитель, т.е. совокупность независимых условий, однозначно определяющих эту кривую.
Различны и способы задания кривых:
· аналитический – кривая задана математическим уравнением;
· графический – кривая задана визуально на носителе графической информации;
· табличный – кривая задана координатами последовательного ряда точек.
Уравнением кривой линии называется такое соотношение между переменными, которому удовлетворяют координаты точки, принадлежащей кривой.
В основу классификации кривых положена природа их уравнений.
Кривые подразделяются на алгебраические и трансцендентные в зависимости от того, являются ли их уравнения алгебраическими или трансцендентными в прямоугольной системе координат.
Плоская кривая линия называется алгебраической, если её уравнение f (xy)=0. Функция f (xy) является степенным множителем относительно переменных х и у; в остальных случаях кривая называется трансцендентной.
Кривая линия, представленная в декартовых координатах уравнением п-й степени, называется алгебраической кривой п-го порядка.
Кривые линии, все точки которых принадлежат одной плоскости, называются плоскими, остальные пространственными.
Билет №15 Поверхности классификация поверхностей
Пове́рхность — традиционное название для двумерного многообразия в пространстве.
Интуитивно простую поверхность можно представить как кусок плоскости, подвергнутый непрерывным деформациям (растяжениям, сжатиям и изгибаниям).
Более строго, простой поверхностью называется образ гомеоморфного отображения (то есть взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения) внутренности единичного квадрата. Этому определению можно дать аналитическое выражение. Пусть на плоскости с прямоугольной системой координат u и v задан квадрат, координаты внутренних точек которого удовлетворяют неравенствам 0
П1. В этом случае все параллели поверхности, горло и экватор проецируются на П1 в истинную величину, а на П2 в отрезки прямых, перпендикулярные i2 – проекции оси i. Задание поверхности осью i и образующим полумеридианом l ненаглядно. Поэтому на чертеже строят проекции главного меридиана q1 и q2, проводят проекции горла, экватора и двух параллелей, образованных вращением верхней точки А и нижней – Е. 
