Что такое Функция?
7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Понятие функции
Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.
1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.
Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.
Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.
2. Функция — это определенное действие над переменной.
Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.
В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:
В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.
3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.
Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида
область определения выглядит так:
И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.
В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.
Построение графиков функций
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида 
область определения выглядит так
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Понятие графика функции
Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.
Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.
Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.
В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.
Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:
Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.
Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.
Исследование функции
Важные точки графика функции y = f(x):
Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.
Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.
Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.
Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.
Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: 
Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.
Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.
Схема построения графика функции:
У нас есть отличные онлайн занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы! Приходи на пробное занятие с нашими лучшими преподавателями!
Построение графика функции
Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.
Задача 1. Построим график функции 
Упростим формулу функции:
Задача 2. Построим график функции
Выделим в формуле функции целую часть:
График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции 
Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.
Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.
Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.
Ветви вниз, следовательно, a 0.
Точка пересечения с осью Oy — c = 0.
Координата вершины 
, т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.
Ветви вниз, следовательно, a 0.
Координата вершины 
, т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b
| x | y |
| 0 | -1 |
| 1 | 2 |
| x | y |
| 0 | 2 |
| 1 | 1 |
| x | y |
| 0 | 0 |
| 1 | 2 |
k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.
Задача 5. Построить график функции 
Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.
Нули функции: 3, 2, 6.
Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.
Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.
Вот так выглядит график:
Задача 6. Построить графики функций:
б) 
г) 
д) 
Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.
а) 
Преобразование в одно действие типа f(x) + a.
Сдвигаем график вверх на 1:
б)
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вверх на 2:
г) 
Преобразование в одно действие типа 
Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:
д) 
Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.
Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:
Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:
Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:
Как решать задачи на функцию
Прежде чем перейти к разбору решения задач с функциями обязательно прочитайте урок «Что такое функция в математике».
После того, как вы действительно поймете, что такое функция (возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.
В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.
Как получить значение функции
Рассмотрим задание. Функция задана формулой « y = 2x − 1 »
Для того, чтобы вычислить « y » при « x = 15 » достаточно подставить в функцию вместо « x » необходимое числовое значение.
Запись решения выглядит следующим образом.
Для того, чтобы найти « x » по известному « y », необходимо подставить вместо « y » в формулу функции числовое значение.
Мы получили линейное уравнение с неизвестным « x », которое решается по правилам решения линейных уравнений.
Не забывайте про правило переноса в уравнениях.
Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас требуется умножить и левую, и правую часть на « −1 » для смены знака.
Как проверить верно ли равенство для функции
Рассмотрим задание. Функция задана формулой « f(x) = 2 − 5x ».
Верно ли равенство « f(−2) = −18 »?
Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию « f(x) = 2 − 5x » числовое значение « x = −2 » и сопоставить с тем, что получится при расчетах.
Когда подставляете отрицательное число вместо « x », обязательно заключайте его в скобки.
Не забывайте использовать правило знаков.
Неправильно
Правильно
С помощью расчетов мы получили « f(−2) = 12 ».
Это означает, что « f(−2) = −18 » для функции « f(x) = 2 − 5x » не является верным равенством.
Как проверить, что точка принадлежит графику функции
Рассмотрим функцию « y = x 2 −5x + 6 »
Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.
Чтобы определить, принадлежит ли точка функции, достаточно подставить её координаты в функцию (координату по оси « Ox » вместо « x » и координату по оси « Oy » вместо « y »).
Вместо « x » подставим « 1 ». Вместо « y » подставим « 2 ».
У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами (1; 2) принадлежит заданной функции.
Вместо « x » подставим « 0 ». Вместо « y » подставим « 1 ».
В этом случае мы не получили верное равенство. Это означает, что точка с координатами (0; 1) не принадлежит функции « y = x 2 − 5x + 6 »
Как получить координаты точки функции
С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат в формулу функции получается верное равенство.
Рассмотрим функцию « y(x) = −2x + 1 ». Её график мы уже строили в предыдущем уроке.
Для этого из значения « 2 » на оси « Ox » проведем перпендикуляр к графику функции. Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси « Oy ».
Полученное значение « −3 » на оси « Oy » и будет искомым значением « y ».
Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2
в функции « y(x) = −2x + 1 ».
Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.
Все полученные координаты точки с графика функции обязательно проверяйте подстановкой значений « x » в функцию.
При подстановке числового значения « x » в функцию в результате должно получиться то же значение « y », которое вы получили на графике.
При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».
Только подстановка значений в формулу функции дает точные результаты.
Что такое функция в математике
Понятие функции в математике появилось не просто так. Давайте разберемся, зачем придумали функцию и как с ней можно работать.
| Сколько времени двигается автомобиль | Сколько км проедет автомобиль |
|---|---|
| 1 час | 60 км |
| 2 часа | 120 км |
| 3 часа | 180 км |
Если внимательно изучить таблицу станет очевидно, что между временем автомобиля в пути и пройденным расстоянием есть четкая зависимость.
Обозначим за « x » время автомобиля в пути.
Обозначим за « y » расстояние, пройденное автомобилем.
Запишем зависимость « y » (расстояния) от « x » (времени в пути автомобиля).
Давайте убедимся, что мы правильно записали зависимость пройденного расстояния от времени в пути.
Теперь вместо « y » запишем обозначение « y(x) ». Такая запись означает, что « y » зависит от « x ».
Окончательная запись нашей функции, которая показывает зависимость пройденного автомобилем расстояния от времени в пути, выглядит следующим образом:
Функцией называют зависимость « y » от « x ».
Запись функции в виде « y(x) = 60x » называют формульным способом задания функции.
Конечно, нужно понимать, что функция « y(x) = 60x » — это не единственная в мире функция. В математике бесконечное множество самых разнообразных функций.
Примеры других функций:
Единственное, что объединяет все функции, это то, что они показывают зависимость значения функция (« y ») от её аргумента (« x »).
Способы задания функции
Задание функции формулой
Через формульный способ задания функции всегда можно сразу по конкретному значению аргумента « x » найти значение функции « y ».
Например, рассмотрим функцию, заданную формульным способом.
Запишем расчет следующим образом.
Табличный способ задания функции
С табличным способом задания функции мы уже встречались, когда расписывали таблицу для функции, которая описывает движение автомобиля « y(x) = 60x ».
Любую функцию можно записать с помощью таблицы. Для этого достаточно найти несколько значений « y » для произвольно выбранных значений « x ».
Будьте внимательны, когда подставляете значение « x » в функцию,
у которой перед « x » есть минус.
Нельзя терять знак минуса, который стоит перед « x ».
При подстановки отрицательного числа в функцию вместо « x » обязательно заключайте отрицательное число в скобки. Не забывайте использовать правило знаков.
Подставим в функцию « y(x) = −x + 4 » вместо « x » отрицательное число « −1 ».
Неправильно
Правильно
Запишем полученные результаты в таблицу. Таким образом мы получили табличный способ задания функции « y(x) = −x + 4 ».
| x | y |
|---|---|
| −1 | 5 |
| 0 | 4 |
| 1 | 3 |
Графический способ задания функции
Теперь давайте разберемся, что называют графиком функции и как его построить.
Прежде чем перейти к изучению графического способа задания функции обязательно вспомните, что называют прямоугольной системой координат.
Рассмотрим функцию « y(x) = −2x + 1 ».
Результаты запишем в таблицу.
| x | Расчет |
|---|---|
| −1 | y(−1) = −2 · (−1) + 1 = 2 + 1 = 3 |
| 0 | y(0) = −2 · 0 + 1 = 0 + 1 = 1 |
| 1 | y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1 |
Назовем каждую полученную точку и запишем их координаты в новую таблицу.
| Имя точки | x | y |
|---|---|---|
| (·) A | −1 | 3 |
| (·) B | 0 | 1 |
| (·) C | 1 | −1 |
Соединим отмеченные точки прямой. Проведенная прямая будет графиком функции « y(x) = −2x + 1 ».
График функции — это объединение всех точек, координаты которых мы можем найти, подставляя в функцию произвольные числовые значения вместо « x ».
Другими словами можно сказать, что под графиком функции мы понимаем множество всех точек, координаты которых мы можем найти, подставляя в функцию любые числовые значения вместо « x ».
Полученный график функции « y(x) = −2x + 1 » это бесконечное множество точек, которые лежат на одной прямой.
При многократном увеличении графика функции мы увидим, что в самом деле вся прямая состоит из рядом стоящих точек.
Точки располагаются максимально близко к друг другу, поэтому по расчетам получается, что графиком функции будет являться прямая.
