что значит решить треугольник

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

.

.

, .

И, наконец, находим угол C:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

.

Из формулы (3) найдем cosA:

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

.

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

, .

, .

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Источник

Решение треугольников

Введем обозначения для сторон АВС: АВ = , ВС = , СА = .

Далее рассмотрим задачи на решение треугольников с использованием данных обозначений.

Задача 1

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Дано: , , С.

Найти: , А, В.

Решение:

1. По теореме косинусов: , откуда .

2. По теореме косинусов: , откуда , следовательно, . Далее угол А находим с помощью микрокалькулятора или по таблице.

Задача 2

Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.

Дано: , В, С.

Найти: А, , .

Решение:

2. По теореме синусов: , откуда .

3. По теореме синусов: , откуда .

Задача 3

Решение треугольника по трем сторонам.

Дано: , , .

Найти: А, В, С.

Решение:

1. По теореме косинусов: , откуда , следовательно, . Далее угол А находим с помощью микрокалькулятора или по таблице.

2. По теореме косинусов: , откуда , следовательно, . Далее угол В находим с помощью микрокалькулятора или по таблице.

Пример

Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС соответственно равны 20 м, 14 м и 18 м. Определите значение угла А.

Решение:

По условию задачи = АВ = 20 м, = АС = 18 м, = ВС = 14 м.

Следовательно, мы можем решить данный треугольник по трем сторонам (см. задачу 3), значит, найти угол А.

По теореме косинусов: , откуда , следовательно,

.

По таблице Брадиса находим угол А: .

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Двойкам нет

Решение треугольников

Решить треугольник — значит по известным его сторонами и углами найти неизвестные его стороны и углы.

Задачи на решение треугольников подразделяются на следующие виды:

1. Решение треугольника по известным стороной и двумя углами.

— Находим третий угол треугольника, учитывая, что сумма всех внутренних углов треугольника равна 180 °.

— Записываем теорему синусов для этого треугольника и, выбирая попарно соотношение сторон и противоположных них углов, находим две другие стороны треугольника.

2. Решение треугольника по известным двум сторонам и углу между ними.

— По теореме косинусов находим третью сторону.

— За следствием из теоремы косинусов находим косинусы неизвестных углов треугольника, а по возможности и сами углы.

Обратите внимание!

Это можно сделать и с помощью теоремы синусов.

3. Решение треугольника по известным двумя сторонами и углом, противоположным одной из них.

— По теореме синусов находим угол, противоположный ко второй известной стороны. При этом обратите внимание, что одному и тому же значению синуса угла соответствуют два угла — острый и тупой, смежный с этим острым углом. Учитывайте, что против большей стороны лежит больший угол.

— Находим третий угол треугольника.

— По теореме синусов находим третью сторону треугольника.

Обратите внимание! Эта задача может иметь два решения.

4. Решение треугольника по известным трем сторонам.

— За следствием из теоремы косинусов находим один из углов треугольника.

— По теореме синусов находим два других угла треугольника.

Источник

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение треугольников.

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.

Эта математическая программа находит сторону \( c \), углы \( \alpha \) и \( \beta \) по заданным пользователем сторонам \( a, b \) и углу между ними \( \gamma \)

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Введите стороны \( a, b \) и угол между ними \( \gamma \) Решить треугольник

Источник

Решение треугольников

Корзина

Треугольник ΔABC,
a = BC, b = AC, c = AB — стороны треугольника,

A = CAB, B = ABC, C = BCA − углы, противолежащие сторонам a, b, c соответственно.

Как пользоваться онлайн-калькулятором. В форме укажите три значения: одну сторону и 2 дополнительных параметра (например, угол и сторону, два угла или две стороны). Заполните поле «Текст с картинки». Нажмите «Решить».

Теоретический урок для решения задач по теме «Решение треугольников». Бесплатное обучение.

Содержание данной онлайн страницы электронного справочника по предмету математики для школьников:

Задача 76.

Дано:

стороны треугольника a=10, b=7

Угол A = 60°

Решить треугольник: Угол по сторонам треугольника B, C, сторону c

, получаем выражение

Sin B = = = = ≈ 0,6062

Используя Sin B ≈ 0,6062, находим из тригонометрической таблицы («Четырехзначные математические таблицы» Владимира Модестовича Брадиса)

B = 37°19’

Используя теорему синусов

, получаем равенство

с= ≈ 11

Ответ: B = 37°19’; C = 82°41’; c ≈ 11

Задача 77.

Треугольник ΔABC, стороны треугольника

C = 54°

Найти: Угол по сторонам треугольника A, B, сторону c

Используя теорему синусов

, получаем равенство

с = = ≈ 5,7

Ответ: A = B = 63°; с ≈ 5,7

Решение треугольников через синус и косинус угла

Задача 78.

A = 60°

B = 40°

Найти: угол треугольника C, стороны a,b

Используя теорему синусов

, получаем выражение

a = ≈ 12

b = ≈ 9

Ответ: C = 80°; a ≈ 12; b ≈ 9

Задача 79.

Дано:

Найти: углы треугольника A, B, C по сторонам

, находим косинус угла B

Cos B = = = = ≈ 0,0998263

Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим значение угла B

B = 84°16’

Используя формулу теоремы косинусов, находим косинус угла C

Cos C = = =

= ≈ 0,7562785

Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим значение угла C

C = 40°52’

Ответ: A = 54°52’ ; C = 40°52’ ; B = 84°16’

Задача 80.

A = 30°

C = 75°

Найти: угол B, стороны треугольника a,c

Значит, две стороны равны AC=AB=b=c=4,5

Используя теорему синусов

,

находим сторону BC=a

a = ≈ 2,3

Ответ: B = 75°; a ≈ 2,3 ; c = 4,5

Задача 81.

Треугольник ΔABC, длины трех его сторон

Найти: является ли треугольник тупоугольным, прямоугольным, остроугольным

2) Используя формулу теоремы косинусов

, находим косинус угла A

Cos A = = =0

3) Используя формулу теоремы косинусов

, находим косинус угла B

Треугольник ΔABC, два угла и сторона

A = 45°

C = 30°

Найдем угол DAB и рассмотрим ΔADC

DAC = 15° + 45° = 60°

Используя теорему синусов

, находим сторону AC

Используя теорему синусов

, находим сторону AB

AB = ≈ 3 (м)

Используя теорему синусов

, находим сторону BC

BC = ≈ 4 (м)

Ответ: AB ≈ 3 м, AC = 6 м, BC ≈ 4 м.

Задача 83.

Три стороны a = 14, b = 18,

Т.к. против большего угла лежит большая сторона, то используя формулу теоремы косинусов

Cos C = , находим косинус угла C

Cos C = = ≈ 0,24

Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла C

C ≈ 76°07’

Используя формулу теоремы косинусов

Cos B = , находим косинус угла B

Cos B = = = ≈ 0,4857

Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла B

B ≈ 60,941 ≈ 60°57’

Ответ: A ≈ 42°56’ ; B ≈ 60°57’ ; C ≈ 76°07’

Задача 84.

Треугольник ΔEKP, сторона и два угла

P = 40°

K = 25°

Используя теорему синусов

, находим сторону PK

Тогда

PK = ≈ 1,61

Задача 85.

Треугольник ΔABC, две стороны и угол

A = 50°

Используя формулу теоремы косинусов

, получаем

a = = ≈ 13,8

Используя формулу теоремы косинусов

Cos C = , находим косинус угла C

Cos C = = ≈ 0,7457

Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла C

C ≈ 41°47’

Ответ: a ≈ 13,8 ; B ≈ 88°13’ ; C ≈ 41°47’

Источник