Что значит за точку взята точка
Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N, такая, что CN = СD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.
а) Докажите, что BM = BN.
б) Найдите MN, если AC = 7, 
а) Рассмотрим треугольники BCN и BAM. По условию AM = AD = BC, AB = CD = CN. В равнобоких трапециях NABC и ABCM равны углы A и C, а значит, равны и углы MAB и BCN. Таким образом, треугольники BNC и BAM равны по двум сторонам и углу между ними, значит, равны и их соответственные стороны BN и BM. Что и требовалось доказать.
б) Заметим, что ABCM и NABC — равнобокие трапеции, тогда равны их диагонали, поэтому AC = BM = BN = 7. Имеем:
Теперь применим теорему косинусов для треугольника MBN:
откуда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Обобщающий урок «Теоремы Менелая и Чевы»Разделы: Математика Оборудование: мультимедийный проектор. Приложение 1. 1. Организационный момент. Точка С1 делит сторону АВ треугольника АВС в отношении 2 : 1. точка В1 лежит на продолжении стороны АС за точку С, и АС = СВ1. В каком отношении делит прямая В1 С1 сторону ВС? (на слайде 2). Решение: По условию
В треугольнике АВС АD – медиана, точка О – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А? (на слайде 3).
В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NС = 3ВN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая МN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение Решение: По условию задачи МА = АС, NС = 3 ВN. Пусть МА = АС = b, BN = k, NC = 3k. Прямая МN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая
На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне РR – точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QR в отношении m : n, считая от точки Q. Найдите PN : PR. (на слайде 5). Решение: По условию NQ = LR, 3. Отработка практических навыков.
Докажите теорему: Медианы треугольника пересекаются в одной точке; точка пересечения делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины. (рисунок 1 слайд 6). Доказательство: Пусть АМ1, ВМ2, СМ3 – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что
Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Пусть О – точка пересечения медиан. Прямая М3С пересекает две стороны треугольника АВМ2 и продолжение третьей стороны этого треугольника. По теореме Менелая Рассматривая теорему Менелая для треугольников АМ1С и АМ2С, мы получаем, что
Докажите теорему: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. (рисунок 2 слайд 6). Доказательство: Достаточно показать, что
Докажите теорему: Высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке. (рисунок 3 слайд 6). Доказательство: Пусть АН1, АН2, АН3 – высоты треугольника АВС со сторонами a, b, c. Из прямоугольных треугольников АВН2 и ВСН2 по теореме Пифагора выразим, соответственно, квадрат общего катета ВН2, обозначив АН2 = х, СН2 = b – х. Итак, АН2 = Аналогично рассуждая для прямоугольных треугольников АСН2 и ВСН3, ВАН1 и САН1, получим АН3 = СН1 = Для доказательства теоремы достаточно показать, что Задачи 5 – 7 самостоятельное решение 3 учащихся. (чертежи на экране). 2. остальные:
Докажите теорему: Если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон пересекаются в одной точке. (на рисунке 4 слайд 6). Доказательство: Пусть А1, В1 и С1 – точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того, чтобы доказать, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:
3. Разбор задач 5, 6, 7.
Пусть АD – медиана треугольника АВС. На стороне АD взята точка К так, что АК : КD = 3 : 1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников. (на слайде 7 рисунок 1) Решение: Пусть АD = DC = a, KD = m, тогда АК = 3m. Пусть Р – точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение
В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4. А1 и С1 – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА1 и СС1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ1. Найдите АР : РА1. (на слайде 7 рисунок 2) Решение: Точка касания окружности со стороной АС не совпадает с В1, так как треугольник АВС – разносторонний. Пусть С1В = х, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см рисунок) 8 – х + 5 – х = 4, х = В треугольнике АВА1 прямая С1С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая
Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник. (на слайде 7). Решение: Пусть в треугольнике АВС АВ = 5, ВС = 7, АС = 6. Угол ВАС лежит против большей стороны в треугольнике АВС, значит, угол ВАС – больший угол треугольника. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис. Пусть О – точка пересечения биссектрис. Необходимо найти АО : ОD. Так как АD – биссектриса треугольника АВС, то 4. Самостоятельное решение задач 9, 10, 11. – 3 учащихся. Задача 12 (для всех оставшихся учащихся класса):
Биссектрисы ВЕ и АD треугольника АВС пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BQD = 1, 2АС = 3 АВ, 3ВС = 4 АВ. (рисунок 4 на слайде 7). Треугольники АВС и ВЕС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, значит, 5. Разбор задач 9, 10, 11. Решение задач – практикум:
А. На сторонах ВС, СА, АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ взяты точки А1, В1, С1, так что прямые АА1, ВВ1, СС1 – конкурентные. Докажите, что По теореме Чевы имеем:
Что и требовалось доказать.
По теореме Менелая для треугольника АВС и секущей MN имеем: Для треугольника MNC и секущей АВ по теореме Менелая имеем: 8. Самостоятельное решение задач: 1 вариант: 1. На продолжениях сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1, В1 так, что АВ = ВС1, ВС = СА1, СА = АВ1. Найдите отношение в котором прямая АВ1 делит сторону А1С1 треугольника А1В1С1. (3 балла). 2. На медиане СС1 треугольника АВС взята точка М. Прямые АМ и ВМ пересекают стороны треугольника соответственно в точках А1 и В1. Докажите, что прямые АВ и А1В1 параллельны. (3 балла). 3. Пусть на продолжении сторон АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1. Докажите, что точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство 4. Используя теорему Чевы, докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. (4 балла). 5. Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (точке Нагеля). (Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной стороны этого треугольника и продолжений двух других его сторон). (5 баллов). 6. Пусть на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1 так, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О. Докажите, что выполняется равенство 7. Пусть на ребрах АВ, ВС, СD и АD тетраэдра АВСD взяты соответственно точки А1, В1, С1, D1. Докажите, что точки А1, В1, С1, D1 лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда выполняется равенство 1. Точки А1 и В1 делят стороны ВС и АС треугольника АВС в отношениях 2 : 1 и 1 : 2. Прямые АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 1. Найдите площадь треугольника ОВС. (3 балла). 2. Отрезок МN, соединяющий середины сторон АD и ВС четырехугольника АВСD делится диагоналями на три равные части. Докажите, что АВСD – трапеция, одно из оснований АВ или СD, которое в двое больше другого. (3 балла). 3. Пусть на стороне АВ и продолжении сторон ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1. Докажите, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство 4. Используя теорему Чевы, докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. (4 балла). 5. Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (точке Нагеля). (Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной стороны этого треугольника и продолжений двух других его сторон). (5 баллов). 6. Пусть на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1, В1 так, что прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Докажите, что выполняется равенство 7. Пусть на ребрах АВ, ВС, СD и АD тетраэдра АВСD взяты соответственно точки А1, В1, С1, D1. Докажите, что точки А1, В1, С1, D1 лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда выполняется равенство 9. Домашнее задание: учебник § 3, № 855, № 861, № 859. Что значит за точку взята точкаВ треугольнике ABC на продолжении стороны AC за вершину A отложен отрезок AD, равный стороне AB. Прямая, проходящая через точку A параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M. а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAC. б) Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника ABC равна 216 и известно отношение AC : AB = 5 : 4. а) Обозначим
Следовательно, AM — биссектриса угла BAC. б) По свойству биссектрисы треугольника
Tреугольник DCB подобен треугольнику ACM с коэффициентом
В треугольнике ABC на продолжении стороны AC за вершину A отложен отрезок AD, равный стороне AB. Прямая, проходящая через точку A параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M. а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAC. б) Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника ABC равна 54 и известно отношение AC : AB = 5 : 4. а) Обозначим
Следовательно, AM — биссектриса угла BAC. б) По свойству биссектрисы треугольника
Tреугольник DCB подобен треугольнику ACM с коэффициентом
Аналоги к заданию № 556588: 556596 Все В прямоугольном треугольнике АВС точка M лежит на катете АС, а точка N лежит на продолжении катета ВС за точку С причем СМ = ВС и CN = AC. а) Отрезки СH и CF — высоты треугольников АСВ и NCM соответственно. Докажите, что прямые СН и CF перпендикулярны. б) Прямые ВМ и AN пересекаются в точке L. Найдите LM если ВС = 4, а АС = 8. а) Прямоугольные треугольники ABC и NMC равны по двум катетам. Пусть угол BAC равен α, тогда по свойству высоты в прямоугольном треугольнике:
б) По условию CN = AC и CM = BC, поэтому
откуда
Ответ: б) Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный (∠A = 90°) и AK = 2AN. Точка B — середина стороны KN. а) Докажите, что прямая BM параллельна прямой AN. б) Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P. Найдите отношение LP : PM. а) Заметим, что б) Диагонали квадрата перпендикулярны, равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому Пусть отрезок AP пересекает сторону KN в точке Q. Тогда AQ — биссектриса треугольника KAN. По свойству биссектрисы
Треугольник LOP равен треугольнику NOQ по стороне и двум прилежащим к ней углам, значит,
Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный (∠A = 90°) и AK = 3AN. Точка B лежит на стороне KN и KB : BN = 2 : 1. а) Докажите, что прямая BM параллельна прямой AN. б) Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P. Найдите отношение LP : PM. а) Поскольку б) Диагонали квадрата перпендикулярны, равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому Пусть отрезок AP пересекает сторону KN в точке Q. Тогда AQ — биссектриса треугольника KAN. По свойству биссектрисы
Треугольник LOP равен треугольнику NOQ по стороне и двум прилежащим к ней углам, значит,
Аналоги к заданию № 556617: 556624 Все На сторонах AC, AB и BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и BMC с прямыми углами K, L и M соответственно. а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM. б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 4. значит, четырёхугольник LACB вписанный. Хорды AL и LB описанной около четырёхугольника LACB окружности равны. Значит, равны между собой стягиваемые этими хордами дуги, а также опирающиеся на эти дуги вписанные углы ACL и LCB. Тогда углы ACL и LBC равны 45°. По условию углы KCA и MCB равны 45°. Следовательно,
а значит, LC — высота треугольника KLM. б) Обозначим отрезки буквами для удобства: BC — a, AC — b, AB — c и CL — d. P — точка пересечения CL и AB. Тогда по доказанному в пункте а) отрезок CP — биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрисы AP : PB = AC : CB = b : a, AP + PB = AB = c. Отсюда Поскольку углы ACL и LBC равны 45°, получаем, что треугольники ACL и PAL подобны по двум углам, тогда Площадь треугольника KLM равна половине произведения его высоты LC, обозначенной буквой d, на сторону, являющейся основанием треугольника и равным Следовательно, искомая площадь равна
На сторонах AC, AB и BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и BMC с прямыми углами K, L и M соответственно. а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM. б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 6. значит, четырёхугольник LACB вписанный. Хорды AL и LB описанной около четырёхугольника LACB окружности равны. Значит, равны между собой стягиваемые этими хордами дуги, а также опирающиеся на эти дуги вписанные углы ACL и LCB. Тогда углы ACL и LBC равны 45°. По условию углы KCA и MCB равны 45°. Следовательно,
а значит, LC — высота треугольника KLM. б) Для удобства обозначим отрезки буквами: BC — a, AC — b, AB — c и CL — d. Пусть P — точка пересечения CL и AB. Тогда по доказанному в пункте а) отрезок CP — биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрисы AP : PB = AC : CB = b : a, AP + PB = AB = c. Отсюда Поскольку углы ACL и LBC равны 45°, получаем, что треугольники ACL и PAL подобны по двум углам, тогда Площадь треугольника KLM равна половине произведения его высоты LC, обозначенной буквой d, на сторону, являющуюся основанием треугольника и равную Следовательно, искомая площадь равна Аналоги к заданию № 562144: 562151 Все Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N, такая, что CN = СD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM. а) Докажите, что BM = BN. б) Найдите MN, если AC = 7, а) Рассмотрим треугольники BCN и BAM. По условию AM = AD = BC, AB = CD = CN. В равнобоких трапециях NABC и ABCM равны углы A и C, а значит, равны и углы MAB и BCN. Таким образом, треугольники BNC и BAM равны по двум сторонам и углу между ними, значит, равны и их соответственные стороны BN и BM. Что и требовалось доказать. б) Заметим, что ABCM и NABC — равнобокие трапеции, тогда равны их диагонали, поэтому AC = BM = BN = 7. Имеем:
Теперь применим теорему косинусов для треугольника MBN:
откуда Ответ: Аналоги к заданию № 563666: 563667 Все В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°. а) Докажите, что угол ABC равен 120°. б) Найдите BH, если а) Рассмотрим треугольник AHC. В нем AA1 и CC1 — высоты. Тупой угол между высотами дополняет угол между сторонами, к которым они проведены, до 180°. Поэтому б) Рассмотрим треугольник AHC, в нем Тем самым, Ответ: б) Докажем утверждение, использованное при решении пункта а). В четырехугольнике Сформулируем теорему, которую мы применили для решения пункта б). Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения его высот равно произведению стороны, противолежащей этой вершине, на котангенс угла при этой вершине. Действительно, пусть высоты AA1, BB1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке H. Стороны прямоугольных треугольников АСС1 и ВНС1 взаимно перпендикулярны, а потому их острые углы АСС1 и ВНС1 равны. Следовательно, эти треугольники подобны. Тогда Рекомендуем сравнить эту задачу с заданием 505425 из экзаменационного варианта ЕГЭ 2014 года. Приведем другое решение пункта б): Рассмотрим треугольник C1CH, заметим, что угол C1CH равен 30°. Поэтому в прямоугольном треугольнике CBA1 катет BA1 вдвое меньше гипотенузы: BA1 = 4. Значит, АA1 = 11. Из треугольника AA1H находим Приведем ещё одно решение пункта б): Заметим, что в треугольнике АНС точка В — ортоцентр. В силу свойства ортоцентра Из прямоугольного треугольника CBA1 находим катет BA1, противолежащий углу в 30°: BA1 = 4. Из треугольника АВС находим высоту: |
Используя теорему Менелая, находим: 
.
. (на слайде 4).
. Пусть NA = LR = a, QF =km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая
Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АМ1, ВМ2 и СМ3 пересекаются в одной точке. Имеем:
или 
.
. Теорема доказана.
. Тогда по теореме Чевы (обратной) AL1, BL2, CL3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника:
. Перемножая почленно полученные равенства, получаем: 
. Итак, для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.
, СН2 = 
.
, ВН3 = 
и ВН1 = 
,
.
. Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АН1, ВН2 и СН3 пересекаются в одной точке. Подставив в левую часть равенства выражения длин отрезков АН3, ВН3, ВН1, СН1, СН2 и АН2 через а, b, с, убеждаемся, что равенство Чевы для высот треугольника выполняется. Теорема доказана.
. Используя свойство касательных, проведенных из одной точки, введем обозначения: ВС1 = ВА1 = х, СА1 = СВ1 = у, АВ1 = АС1 = z.
. Равенство Чевы выполняется, значит, указанные отрезки (биссектрисы треугольника) пересекаются в одной точке. Эту точку называют точкой Жергона. Теорема доказана.
. Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то 
= 
. По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем: 
. Итак, 
.
.
.
, то есть BD = 5k, DС = 6k. так как BF – биссектриса треугольника АВС, то 
, то есть AF = 5m, FC = 7m. Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC. По теореме Менелая 
.
, тогда SABC = 
.
(1 ).
.
. По условию 
следовательно 
,
по условию 
. (4 балла).
. (5 баллов).
(5 баллов).
. (5 баллов).
По теореме о внешнем угле треугольника 
Треугольник ABD равнобедренный, поэтому 
а так как AM параллельна BD,
значит,
поэтому
то есть ALM — равнобедренный прямоугольный треугольник. Значит,
следовательно, треугольники BMN и NKA подобны по соотношению двух сторон и равенству углов, заключенных между этими сторонами. Тогда 
следовательно, прямая BM параллельна прямой AN.
и 
Из точек A и O отрезок KN виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром KN. Вписанные в эту окружность углы KAO и NAO опираются на равные хорды, поэтому AO — биссектриса угла KAN.
Тогда 
Следовательно,
то 
и прямоугольные треугольники BMN и NKA подобны по двум пропорциональным катетам. Значит, 
Следовательно, прямая BM параллельна прямой AN.
и 
и 
Сторону AC найдём по теореме косинусов:
сумма прямых углов 
и 
равна 180°, поэтому сумма двух других углов 
и 
также равна 180°. Тогда 
Углы 
Таким образом, тупой угол между высотами дополняет угол между сторонами, к которым они проведены, до 180°.
откуда 
Для остроугольного треугольника доказательство аналогично. Для прямоугольного треугольника доказательство напрямую следует из определения котангенса.
Теперь по теореме Пифагора вычисляем:
откуда получаем: 
(это же следует из подобия треугольников 
и 
).
Тогда 
